[論文レビュー] Invariant Berezin integration on homogeneous supermanifolds

Alexander Alldridge, Joachim Hilgert|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Lie超群 $\mathcal{G}$ と閉じた部分超群 $\mathcal{H}$ に対して、同次超多様体 $\Gamma/\mathcal{H}$ 上の不変Berezin積分の理論を確立する。$\mathcal{G}$-不変Berezin形式が存在するための必要十分条件は、商超代数 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ の双対のBerezinianが $\mathcal{H}$-自明なモジュールであることであることを証明し、$\mathcal{G}$ 上の積分を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と $\mathcal{H}$ 上のファイバー積分を通して行うFubini型の公式を導出する。これは、調和解析の古典的結果を超幾何的設定に一般化するものである。

ABSTRACT

Let G be a Lie supergroup and H a closed subsupergroup. We study the unimodularity of the homogeneous supermanifold G/H, i.e. the existence of G-invariant sections of its Berezinian line bundle. To that end, we express this line bundle as a G-equivariant associated bundle of the principal H-bundle G over G/H. We also study the fibre integration of Berezinians on oriented fibre bundles. As an application, we prove a formula of `Fubini' type: the invariant integral over G can be expressed (up to sign) by a succesive invariant integration over H and G/H. Moreover, we derive analogues of integral formulae for the transformation under local isomorphisms of unimodular homogeneous superspaces G/H and S/T, and under the products of subsupergroups of Lie supergroups. The classical counterparts of these formulae have numerous applications in harmonic analysis.

研究の動機と目的

• 同次空間上の古典的結果（単調性および不変積分）を、Lie超群と超多様体の超幾何的設定に一般化すること。
• $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 上の $\mathcal{G}$-不変Berezin形式の存在を、超代数 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ における表現論的条件によって特徴づけること。
• 向き付けられたスーパーファイバー束に対するファイバー積分理論を構築し、$\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と $\mathcal{H}$ を通じた $\mathcal{G}$ 上の積分に対するFubini型公式を導出すること。
• 局所同型や部分超群の積に関する古典的積分公式を、超設定に一般化し、対称超空間上の調和解析への応用を示すこと。

提案手法

• $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ のBerezinian線束を、$\mathcal{G}$-等変な関連束 $\mathcal{G} \times^\mathcal{H} \mathrm{Ber}((\mathfrak{g}/\mathfrak{h})^*)$ として表現する。
• Berezinian束の同型を用いて、$\mathcal{G}$-不変切断の存在を、$\mathrm{Ber}((\mathfrak{g}/\mathfrak{h})^*)$ が $\mathcal{H}$-モジュールとして自明であることへ還元する。
• 向き付けられたスーパーファイバー束に対して一般なファイバー積分写像を構成し、Berezin密度の積分に対するFubini型公式を証明する。
• Berezinian $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{h}})$ および $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{u}})$ を用いて、ジャコビアン因子を計算することで、古典的積分公式の超アナロジーを導出する。
• 理論を局所同型 $\mathcal{G}/\mathcal{H} \to \mathcal{S}/\mathcal{T}$ および $\mathcal{M} \cdot \mathcal{H} \subset \mathcal{U}$ に適用し、Berezin積分の変換則を計算する。
• 一般化された点と局所超行列表現を用いて、乗法写像 $m: \mathcal{M} \times \mathcal{H} \to \mathcal{U}$ の微分のBerezinianを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次超多様体 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ が非ゼロの $\mathcal{G}$-不変Berezin形式を持つのはいつか？
• RQ2 $G/H$ 上の積分に対する古典的Fubini公式は、どのように超設定に一般化できるか？
• RQ3 同次超多様体間の局所同型 $\mathcal{G}/\mathcal{H} \to \mathcal{S}/\mathcal{T}$ におけるBerezin積分の変換則は何か？
• RQ4 部分超群の積 $\mathcal{M} \cdot \mathcal{H} \subset \mathcal{U}$ 上の積分は、$\mathcal{M}$ と $\mathcal{H}$ 上の積分とどのように関係するか？
• RQ5 超群積分のジャコビアン因子を計算する際に、随伴表現のBerezinianが果たす役割は何か？

主な発見

• 同次超多様体 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ が非ゼロの $\mathcal{G}$-不変Berezin形式を持つための必要十分条件は、$\mathrm{Ber}((\mathfrak{g}/\mathfrak{h})^*)$ が $\mathcal{H}$-自明なモジュールであることである。
• Fubini型の公式が成り立つ：任意の $f \in \Gamma_c(G, \mathcal{O}_{\mathcal{G}})$ に対して $\int_{\mathcal{G}} f = (-1)^{\dim \mathfrak{h}_1 \cdot \dim \mathfrak{g}/\mathfrak{h}} \int_{\mathcal{G}/\mathcal{H}} \int_{\mathcal{H}} f$ が成り立つ。
• 超群 $\mathcal{U}$ が $\mathcal{M} \cdot \mathcal{H}$ に分解される場合、$\mathcal{U}$ 上の積分は $\int_{\mathcal{U}} f = \int_{\mathcal{M} \times \mathcal{H}} m^*f \cdot \frac{\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{h}})}{\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{u}})}$ で与えられ、適切な正規化が施されている。
• 向き付けられたスーパーファイバー束に対するファイバー積分写像は、Fubini型の公式を満たし、古典的ケースを超幾何学に一般化する。
• 局所同型 $\mathcal{G}/\mathcal{H} \to \mathcal{S}/\mathcal{T}$ におけるBerezin積分の変換則は、商超代数への誘導線形写像のBerezinianによって支配される。
• 積の公式におけるジャコビアン因子は、乗法写像の微分のBerezinianから生じ、$\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{h}})$ および $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{u}})$ を用いて計算される。