[論文レビュー] Invariant Carnot-Caratheodory metrics on $S^3$, $SO(3)$, $SL(2)$ and lens spaces

Ugo Boscain, Francesco Rossi|ArXiv.org|Sep 25, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、カルタン分解およびキリング形式によって誘導される、$SU(2) \simeq S^3$、$SO(3)$、$SL(2)$ 上の左不変な部分リーマン構造におけるグローバルカットローカスを計算する。測地線、共役ローカス、およびカルノー＝カーラテオドリ距離の明示的表現が得られ、距離関数は初等関数の逆関数として与えられる。$SU(2)$ ではカットローカスは1点を除いた最大円周であり、$SO(3)$ と $SL(2)$ では階層的集合である。これはヘイゼンベルク群を除く、最初の明示的グローバルカットローカス計算である。

ABSTRACT

In this paper we study the invariant Carnot-Caratheodory metrics on $SU(2)\simeq S^3$, $SO(3)$ and $SL(2)$ induced by their Cartan decomposition and by the Killing form. Beside computing explicitly geodesics and conjugate loci, we compute the cut loci (globally) and we give the expression of the Carnot-Caratheodory distance as the inverse of an elementary function. We then prove that the metric given on $SU(2)$ projects on the so called lens spaces $L(p,q)$. Also for lens spaces, we compute the cut loci (globally). For $SU(2)$ the cut locus is a maximal circle without one point. In all other cases the cut locus is a stratified set. To our knowledge, this is the first explicit computation of the whole cut locus in sub-Riemannian geometry, except for the trivial case of the Heisenberg group.

研究の動機と目的

• 3次元の単純なリー群 $SU(2)$、$SO(3)$、$SL(2)$ 上の左不変な部分リーマン構造のグローバル構造としてのカットローカスを特定すること。
• アイデンティティからのカルノー＝カーラテオドリ距離を初等関数の逆関数として計算すること。
• $SU(2)$ の計量をレンズ空間 $L(p,q)$ に射影し、それらのカットローカスを計算すること。
• ヘイゼンベルク群の自明な場合を除き、部分リーマン幾何学における完全なグローバルカットローカスを計算するという長年の未解決問題を解消すること。

提案手法

• リー代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ のカルタン分解とキリング形式を用いて、$SU(2)$、$SO(3)$、$SL(2)$ 上の左不変な部分リーマン計量を定義する。
• 測地線を指数写像 $\mathrm{Exp}(\theta, c, t) = e^{(A_k + A_p)t}e^{-A_k t}$ でパラメトライズし、$A_p \in \mathfrak{p}$、$A_k \in \mathfrak{k}$、$\|A_p\| = 1$ を満たす。
• ポントリャーギン最大原理を適用し、指数関数を用いて表現可能な初等関数の意味で可積分なハミルトニアン系を導出する。
• 対称性とトレース解析を用いて、カット点を分類し、局所的、対称的、非対称的なカットローカスを区別する。
• 測地線の終点を比較するための関数 $r(c,t) = \sqrt{(g_{11} - g_{22})^2 + (g_{12} + g_{21})^2}$ を用い、共通の測地線に対して $c^2 = d^2$ を証明する。
• $\frac{\sin p}{p}$ および $\frac{\sinh p}{p}$ の単射性を解析し、測地線終点の一意性を導き、余分なカット点の排除を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(2)$ 上の $\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ 部分リーマン構造におけるカットローカスのグローバル構造は何か？
• RQ2 $SO(3)$ と $SL(2)$ のカットローカスはどのように異なり、その階層的構造は何か？
• RQ3 $SU(2)$ 上のカルノー＝カーラテオドリ距離は初等関数の逆関数として表現可能か？
• RQ4 $SU(2)$ の部分リーマン計量はレンズ空間 $L(p,q)$ にどのように射影され、そのカットローカスは何か？
• RQ5 $SL(2)$ において、局所的カットローカスと対称的カットローカスの和集合に含まれないカット点は存在するか？

主な発見

• $SU(2)$ ではカットローカスはアイデンティティを除いた最大円周 $S^1$ であり、これは最初の共役ローカスに一致する。
• $SO(3)$ ではカットローカスは $\mathbb{R}P^2$ と1点を除いた円周 $S^1$ から成る階層的集合であり、1点で接合されている。
• $SL(2)$ ではカットローカスは $\mathbb{R}^2$ と1点を除いた円周 $S^1$ から成る階層的集合であり、これも1点で接合されている。
• $SU(2)$ 上の部分リーマン距離は、$\beta = 0$ のとき $d(g,\mathrm{Id}) = 2\sqrt{\arg(\alpha)(2\pi - \arg(\alpha))}$ で与えられ、それ以外の場合は $\psi(\alpha)$ であり、$\psi$ は初等関数の逆関数である。
• $SL(2)$ では、$r(c,t)$ の単射性およびトレースに基づく対称性の議論により、$K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}} \cup K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}} \cup \{\mathrm{Id}\}$ の外にカット点は存在しないことが示された。
• $SL(2)$ のカットローカスは $K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}} \cup K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}}$ に一致することが確認され、$K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}}$ は1次元のストラトゥム、$K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}}$ は2次元のストラトゥムである。