[論文レビュー] Invariant Connections and Symmetry Reduction in Loop Quantum Gravity

Maximilian Hanusch|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 8

ひとこと要約

本稿はループ量子重力理論における新規な量子レベルの対称性削減（QR-還元）フレームワークを構築する。これはC*-代数のスペクトルを通じて、古典的配置空間から量子配置空間への群作用の拡張により実現される。QR-還元が標準的なRQ-還元よりも厳密に大きな配置空間をもたらすことを証明し、量子化と還元が一般には可換でないことを示している。これにより、特に宇宙論的状況において、還元された量子空間上に正規化されたラドン測度を構成するための数学的に厳密な基礎が提供される。

ABSTRACT

The intention of this thesis is to provide general tools and concepts that allow to perform a mathematically substantiated symmetry reduction in (quantum) gauge field theories. Here, the main focus is on the framework of loop quantum gravity (LQG), where we concentrate on the reduction of the quantum configuration space, and the construction of a normalized Radon measures on the reduced one. More precisely, we introduce a new way to symmetry reduce the LQG-configuration space directly on the quantum level, and then show that this always leads to a (strictly) larger reduced space than quantizing the classical configuration space of invariant connections (traditional approach). We prove a general classification theorem for such invariant connections, which we then use to calculate the classical configuration space for the homogeneous and the spherically symmetric case. Here, the backbone of the introduced reduction concept is a lifting result for group actions on sets to spectra of $C^*$-subalgebras of the bounded functions thereon; and as a further application of this, we single out the standard kinematical Hilbert space of homogeneous isotropic loop quantum cosmology by means of the same invariance condition for both the standard configuration space $\mathbb{R}_{\mathrm{Bohr}}$, as well as for the Fleischhack one $\mathbb{R}\sqcup\mathbb{R}_{\mathrm{Bohr}}$. Along the way, symmetries of embedded analytic curves under a given analytic Lie group action are investigated, and a first classification result is proven for the case that the action is proper or pointwise proper and transitive, and only admits normal stabilizers.

研究の動機と目的

• ループ量子重力理論における量子レベルの対称性削減（QR-還元）の数学的に厳密な枠組みを確立すること。
• QR-還元を、還元された古典的配置空間を量子化する標準的なRQ-還元手法と比較すること。
• 物理的状態空間の量子化のため、RQ-およびQR-還元された配置空間上に正規化されたラドン測度を構成すること。
• 特に均一・等方的宇宙論的モデルにおける還元された量子配置空間の運動論的構造を分析すること。
• 主バンドルの広いクラスにわたる不変接続に関する古典的結果を一般化し、不変接続空間の明示的計算を可能にする。

提案手法

• 古典的群作用θ: G × X → Xを、A ⊆ B(X) であるC*-代数Aのスペクトル上への作用Θ: G × Spec(A) → Spec(A) に拡張し、量子レベルの対称性削減を可能にする。
• 量子還元配置空間をAred = {ω ∈ A | Θ(g, ω) = ω ∀g ∈ G} として定義する。ここでAは全量子配置空間を表す。
• QR空間Aredが一般にRQ空間（古典的Ared上の有界関数のスペクトル）を厳密に含むことを示し、その包含関係が一般には厳密であることを示す。
• QR空間Aredを、基底多様体内の曲線の対称性タイプにそれぞれ対応する、最大4つのより単純な配置空間の直積に分解する。
• 各因子空間上に正規化されたラドン測度を構成し、構造群がSU(2)で自由かつ適切な群作用が成り立つ場合には、全Ared上に正規化されたラドン測度が得られることを示す。
• 均一・等方的宇宙論的配置空間R ⊔ RBohrを分析し、加法群作用の自然な拡張がRBohr上ではハール測度を固定し、R上ではゼロ測度を固定することを示し、ループ量子宇宙論の標準的運動論的ヒルベルト空間が回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ量子重力理論における量子レベルの対称性削減（QR-還元）は、標準的なRQ-還元とは物理的・数学的に整合的かつ一貫した代替手段となるか？
• RQ2 量子還元配置空間（Ared）とRQ還元空間の関係は何か？包含関係は厳密か？
• RQ3 QR還元配置空間上に正規化されたラドン測度を構成可能か？どのような条件下で可能か？
• RQ4 一般化された不変接続定理は、還元された量子配置空間の構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 QR-還元フレームワークは、均一・等方的宇宙論において、標準的運動論的ヒルベルト空間を再現するか？

主な発見

• QR還元配置空間AredはRQ還元空間を厳密に含み、量子化と還元が一般には可換でないことを証明する。
• 自由かつ適切な群作用が成り立ち、構造群がSU(2)である場合には、QR空間Aredは4つの取り扱いやすい配置空間の直積に分解され、各因子空間上に正規化されたラドン測度が構成可能であり、これにより全Ared上に正規化されたラドン測度が得られる。
• 均一・等方的宇宙論の状況では、R ⊔ RBohr上での加法群作用の自然な拡張が、RBohr上ではハール測度を固定し、R上ではゼロ測度を固定する。これにより、ループ量子宇宙論の標準的運動論的ヒルベルト空間が再現される。
• 一般化された不変接続定理により、主バンドル上での不変接続空間を明示的に決定可能となり、王やハーナドらの古典的結果をはるかに広く適用可能にする。
• QR空間上に正規化されたラドン測度を構成することで、今後の研究において還元された可観測量代数の対応するL2ヒルベルト空間上への表現が可能になる。
• 本フレームワークは、RQ-還元の代替として体系的かつ数学的に根拠のある手法を提供し、還元された量子空間における測度論的および位相的構造を明示的に制御可能である。