[論文レビュー] Invariant conservative difference schemes for shallow water equations in Eulerian and Lagrangian coordinates

В. А. Дородницын, Е. И. Капцов|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の底地形を持つ1次元浅水域方程式に対して、Euler座標系における不変で保存的な差分スキームを提示する。直接法の差分アナロジーを用いて、質量、運動量、エネルギー、重心位置のすべての主要な保存則を保存する。スキームは、均一な直交メッシュ上での対称性と保存性を維持し、物理的破堤問題による数値検証により、微小なスキーム修正に対しても優れたエネルギー保存性を示す。

ABSTRACT

The one-dimensional shallow water equations in Eulerian coordinates are considered. Relations between symmetries and conservation laws for the potential form of the equations, and symmetries and conservation laws in Eulerian coordinates are shown. An invariant difference scheme for equations in Eulerian coordinates with arbitrary bottom topography is constructed. It possesses all the finite-difference analogues of the conservation laws. Some bottom topographies require moving meshes in Eulerian coordinates, which are stationary meshes in mass Lagrangian coordinates. The developed invariant conservative difference schemes are verified numerically using examples of flow with various bottom topographies.

研究の動機と目的

• 任意の底地形を持つEuler座標系における浅水域方程式の不変で保存的な差分スキームを開発すること。
• 方程式のポテンシャル形式における対称性と保存則の関係、およびそれらがEuler変数にどのように対応するかを確立すること。
• 構築されたスキームが、質量、運動量、エネルギー、重心位置の保存則をすべて同時に保持することを保証すること。
• 非一様な底地形に対応する、Lagrangian座標スキームの先行研究をEuler座標系に拡張すること。
• 物理的破堤問題を用いた数値的検証を行い、粘性および非粘性条件下での保存性を評価すること。

提案手法

• 保存則の計算および不変スキームの構築に、直接法の差分アナロジーを用いる。
• Lie点変換の対称性解析を用いて、浅水域方程式のポテンシャル形式における対称性を同定し、それをEuler変数に写像する。
• 均一な直交メッシュ上に、微分保存則をすべて有限差分アナロジーとして保持する差分スキームを構築する。
• 3時間層形式を用いて保存性を維持し、2時間層形式は流体力学的変数で表現可能である。
• Lagrangian座標系において、$ \frac{\check{x}_{ts}}{x_s} $に比例する線形人工粘性項（疑似粘性項）を導入し、数値解の安定化を図る。
• 物理的破堤問題を用いて数値的検証を行い、放物型およびその他の底地形を想定し、エネルギー保存性と自由表面プロファイルを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の底地形を持つEuler座標系における浅水域方程式に対して、不変で保存的な差分スキームを体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 方程式のポテンシャル形式における対称性と保存則の関係、およびそれらがEuler変数にどのように対応するかは何か？
• RQ3 不変差分スキームは、均一な直交メッシュ上において、質量、運動量、エネルギー、重心位置のすべての主要な保存則を同時に保持できるか？
• RQ4 不変スキームを用いた物理的破堤問題の数値解は、人工粘性を含む場合と含まない場合で、保存性の観点からどのように振る舞うか？
• RQ5 不変スキームの微小な修正がエネルギー保存性をどの程度悪化させるか、また疑似粘性項はその影響にどのように寄与するか？

主な発見

• 構築された不変で保存的な差分スキームは、任意の底地形に対して、均一な直交メッシュ上ですべての主要な保存則（質量、運動量、エネルギー、重心位置）を保持する。
• 物理的破堤問題の数値結果は、優れたエネルギー保存性を示しており、エネルギー保存誤差 $ |\delta\varepsilon| $ が対数スケールでも低く保たれている（図15で示された）。
• 人工粘性（$ \nu = h $）の導入により自由表面プロファイルが改善されるが、エネルギー保存性が著しく悪化するため、安定性と保存性のトレードオフが顕著に現れる。
• 不変スキームへの微小な修正ですら、エネルギー保存性の著しい劣化を引き起こすため、長期的な精度を確保するには厳密な不変性の維持が不可欠である。
• 本スキームはLagrangianおよびEulerian形式の両方で成功裏に実装されており、さまざまな底地形において一貫した保存性が確認された。
• 表 LABEL:tab:Htable および LABEL:tab:HtableDelta は、平坦な底地形から任意の底地形に至るまで、EulerおよびLagrangian差分スキームの対称性と保存則を包括的に分類している。