[論文レビュー] Invariant curves of almost periodic twist mappings

Peng Huang, Xiong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、交差性質と解析性の仮定の下で、平面的ほぼ周期的ねじれ写像に対して不変曲線の存在を確立し、古典的なKAM型結果をほぼ周期的設定へと拡張する。応用として、ほぼ周期的外部力を持つ超線形Duffing方程式に対して、すべての解の有界性と無限に多くのほぼ周期的解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with the existence of invariant curves of planar twist mappings which are almost periodic in a spatial variable. As an application of this result to differential equations we will discuss the existence of almost periodic solutions and the boundedness of all solutions for superlinear Duffing's equation with an almost periodic external force.

研究の動機と目的

• 交差性質と解析性の仮定の下で、平面的ほぼ周期的ねじれ写像に対する不変曲線定理を確立すること。
• 周期的および準周期的設定からほぼ周期的状況への古典的KAM理論の拡張すること。
• 不変曲線の結果を応用して、超線形Duffing方程式における解の有界性とほぼ周期的解の存在を検討すること。
• 微小パラメータ変換と解析的ほぼ周期的摂動を用いて、ほぼ周期的摂動下でのDuffing方程式のPoincaré写像の力学を分析すること。

提案手法

• 微小パラメータδと変数変換μ = (3/(4d))ρ⁻¹ᐟ³を導入し、Poincaré写像をスケーリングし、ねじれ項を分離する。
• 元のDuffing方程式を小さな摂動構造を持つ平面上の写像Pに変換し、さらに小ねじれ定理の条件を満たす新しい写像P̃に変換する。
• 定理6.1（ほぼ周期的写像のための小ねじれ定理）を適用し、周波数スペクトルの非共鳴性および減衰条件の下で不変曲線の存在を証明する。
• 変数変換のもとで保存されるPoincaré写像の交差性質を用い、小ねじれ定理の適用可能性を保証する。
• 写像における摂動fとgが、周波数ω = (…, ω_λ, …) に対してtに関して実解析的かつほぼ周期的であり、非共鳴条件を満たすことを確立する。
• ρ₀⁻¹ᐟ³における漸近展開を用いてPoincaré写像の構造を導出し、δ → 0のときのねじれ項の小ささを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差性質と解析性の仮定の下で、平面的ほぼ周期的ねじれ写像に対して不変曲線定理が成り立つか？
• RQ2 ほぼ周期的ねじれ写像における不変曲線の存在を用いて、非線形振動子における解の有界性を証明できるか？
• RQ3 ほぼ周期的外部力を持つ超線形Duffing方程式は、ほぼ周期的解を有し、すべての解が有界であるか？
• RQ4 ほぼ周期的設定において不変曲線の存在を保証する周波数スペクトルの非共鳴条件は何か？

主な発見

• 実解析的ほぼ周期的摂動を受ける超線形Duffing方程式のPoincaré写像は、周波数ωが非共鳴条件を満たし、摂動パラメータδが十分に小さいとき、不変曲線を有する。
• 不変曲線は実解析的かつほぼ周期的であり、周波数ω = (…, ω_λ, …) を持つため、無限に多くのほぼ周期的解の存在が示される。
• 同じ条件下で、超線形Duffing方程式のすべての解が有界であることが、原点を囲む不変曲線の存在によって保証される。
• Poincaré写像におけるねじれ項はO(δμ₀)（μ₀ ∈ [1,2]）として示され、摂動f̃₁, f̃₂はそれぞれO(δ)であり、t₀に関して解析的で周波数ωを持つ。
• 小ねじれ定理の適用可能性を保証する非共鳴条件 |⟨k,ω⟩(δα)/(2π) − j| ≥ γ/(Δ([[k]])Δ(|k|)) が成り立つ。
• 変換δμ = (3/(4d))ρ⁻¹ᐟ³により、力学的スケーリングが行われ、ねじれ項が小さくなり、主要定理の仮定を満たすようになる。