[論文レビュー] Invariant Cyclic Homology

Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour|ArXiv.org|Jul 14, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホップ代数 $\mathcal{H}$、$\mathcal{H}$-コモジュール代数 $A$、$\mathcal{H}$-モジュール $M$ からなる三つ組 $(A, \mathcal{H}, M)$ および整合性を持つグロープライク元 $\sigma$ を持つ場合に、非可換 de Rham コホモロジーの類似として不変循環ホモロジーを定義する。この理論はコンネス＝モスコビチの循環コホモロジーを一般化し、循環ホモロジー群が群およびリー代数の係数付きホモロジーを記述する枠組みを提供する。主な結果として、可換な $\mathcal{H}$ の場合、不変循環コホモロジーはホップコホモロジー群の直和に分解されることを示している。

ABSTRACT

We define a noncommutative analogue of invariant de Rham cohomology. More precisely, for a triple $(A,\mathcal{H},M)$ consisting of a Hopf algebra $\mathcal{H}$, an $\mathcal{H}$-comodule algebra $A$, an $\mathcal{H}$-module $M$, and a compatible grouplike element $σ$ in $\mathcal{H}$, we define the cyclic module of invariant chains on $A$ with coefficients in $M$ and call its cyclic homology the invariant cyclic homology of $A$ with coefficients in $M$. We also develop a dual theory for coalgebras. Examples include cyclic cohomology of Hopf algebras defined by Connes-Moscovici and its dual theory. We establish various results and computations including one for the quantum group $SL(q,2)$.

研究の動機と目的

• ホップ代数の不変 de Rham コホモロジーの非可換類似を構築すること。
• 既存の循環コホモロジー理論（コンネス＝モスコビチの理論および [12, 19] の理論を含む）を統一・一般化すること。
• 双対なコサイクルモジュール構成を用いて、代数的コモジュールへの理論の拡張を行うこと。
• 群ホモロジーおよびリー代数ホモロジー（係数付き）を不変循環ホモロジーの特別な場合として解釈すること。
• 特に量子群 $SL_q(2)$ に対して計算可能な道具を確立すること。

提案手法

• $\mathcal{H}$-作用の下でのパラサイクルモジュール $C_n(A,M)$ のコインヴァリエントとして、不変チェーンのサイクルモジュール $C_n^{\mathcal{H}}(A,M)$ を定義する。
• $\sigma$-適合ホップ三つ組 $(A, \mathcal{H}, M)$ を導入し、グロープライク元 $\sigma$ を用いて不変循環ホモロジーを定義する。
• コモジュールに対して $\delta$-適合ホップコトリプル $(C, \mathcal{H}, V)$ を用い、双対理論を構築する。不変コチェーンをパラコサイクルモジュールのコインヴァリエントとして定義する。
• モジュールに対してはコインヴァリアント関手 $M_{\mathcal{H}} = k_\delta \otimes_{\mathcal{H}} M$ を、コモジュールに対しては $M^{\text{co}\mathcal{H}} = \text{Hom}_{\mathcal{H}}(k_\sigma, M)$ を用いる。
• $\delta$-積分 $t$ が存在し、$\delta(t)$ が可逆である場合、$HC_{\mathcal{H}}^\bullet(C,k)$ が $HC^\bullet(C)$ の直和成分であることを証明する。
• 可換な $\mathcal{H}$ の場合、$HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},V) \cong \bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}(\mathcal{H},V)$ を示し、不変循環コホモロジーをホップコホモロジーに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数の作用を用いて、不変 de Rham コホモロジーを非可換設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 コンネス＝モスコビチのホップ代数の循環コホモロジーは、より広範な不変循環ホモロジー理論の特別な場合として解釈可能か？
• RQ3 グロープライク元およびキャラクターは、代数およびコモジュールの不変循環モジュールを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 ホップ代数の不変循環ホモロジーは、そのホップコホモロジーや群ホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 不変循環コホモロジーがコホモロジー群の直和に分解するための条件は何か？

主な発見

• グロープライク元 $\sigma$ を持つ $\sigma$-適合ホップ三つ組 $(A, \mathcal{H}, M)$ の不変循環ホモロジーは、$\mathcal{H}$-作用の下でのパラサイクルモジュール $C_n(A,M)$ のコインヴァリアントモジュールの循環ホモロジーとして定義される。
• コムルチプライケーションによるコアクションを持つホップ代数 $\mathcal{H}$ の場合、不変循環モジュール $\widetilde{\mathcal{H}}_n^{(\delta,\sigma)}$ は、$\mathcal{H}$ に係数をとった $\mathcal{H}$ の循環モジュールと同型である。
• コモジュールに対する双対理論により、不変コチェーンのコサイクルモジュール $C_{\mathcal{H}}^n(C,V)$ がパラコサイクルモジュールのコインヴァリアントとして得られ、この枠組みは双対設定へと拡張される。
• $\delta$-積分 $t$ が存在し、$\delta(t)$ が可逆である場合、$HC_{\mathcal{H}}^\bullet(C,k)$ は $HC^\bullet(C)$ の直和成分であり、射 $\gamma$ が射影の右逆を与えるサイクルモジュール写像を提供する。
• 可換な $\mathcal{H}$ の場合、不変循環コホモロジー $HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},V)$ は $\bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}(\mathcal{H},V)$ に分解され、ここで $H^i(\mathcal{H},V)$ はホップコホモロジー群である。
• 複素アフィン代数的群 $G$ の場合、$HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},M) \cong \bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}_{\text{alg}}(G,M)$ が成り立ち、この理論が代数的群コホモロジーと結びつく。