[論文レビュー] Invariant Differential Operators on Siegel-Jacobi Space

Jae-Hyun Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ジャコビ群 $G^J = Sp(n,\mathbb{R}) \ltimes H_\mathbb{R}^{(n,m)}$ の作用の下で、シーゲル・ジャコビ空間 $Σ_{n,m} = \mathbb{H}_n \times \mathbb{C}^{(m,n)}$ 上の不変微分作用素を調査する。$T_{n,m}$ 上の $U(n)$-不変多項式の代数と、$G^J$-不変微分作用素の代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ の間で、自然な線形全単射を確立し、その作用素の明示的構成を与える。特に $n=1$、$m$ を任意として、3次のカシミール型作用素を構成し、ベクトル値形式の作用素代数の中心を生成する。

ABSTRACT

For two positive integers $m$ and $n$, we let ${\mathbb H}_n$ be the Siegel upper half plane of degree $n$ and let ${\mathbb C}^{(m,n)}$ be the set of all $m imes n$ complex matrices. In this article, we study differential operators on the Siegel-Jacobi space ${\mathbb H}_n imes {\mathbb C}^{(m,n)}$ that are invariant under the natural action of the Jacobi group $Sp(n,{\mathbb R}\ltimes H_{\mathbb R}^{(n,m)}$ on ${\mathbb H}_n imes {\mathbb C}^{(m,n)}$, where $H_{\mathbb R}^{(n,m)}$ denotes the Heisenberg group. We give some explicit invariant differential operators. We present important problems which are natural. We give some partial solutions for these natural problems.

研究の動機と目的

• ジャコビ群 $G^J = Sp(n,\mathbb{R}) \ltimes H_\mathbb{R}^{(n,m)}$ の自然な作用に関して、シーゲル・ジャコビ空間 $\mathbb{H}_n \times \mathbb{C}^{(m,n)}$ 上の微分作用素を研究すること。
• 代数 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)}$ である $U(n)$-不変多項式と、$G^J$-不変微分作用素の代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ の間で自然な線形全単射を確立すること。
• $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ の明示的生成子を同定し、特に $n=1$ の場合におけるこの代数の構造に関する自然な問題を解くこと。
• Maass-Jacobi形式を、$|_{\rho,\mathcal{M}}$-スラッシュ不変微分作用素の代数 $\mathbb{D}_{\rho,\mathcal{M}}$ の中心の固有関数として定義し、その性質を分析すること。

提案手法

• ジャコビ群の随伴作用を用いて、多項式代数 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})$ 上に $U(n)$ の表現 $\tau$ を誘導し、$U(n)$-不変多項式の部分代数 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)}$ を得る。
• $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)}$ から $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ への自然な線形全単射を構成するが、この写像は乗法的でないため、$\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ は非可換であることを示唆する。
• $G^J$ が $\mathbb{H}_{n,m}$ 上の滑らかな $V_\rho$-値関数に作用する $|_{\rho,\mathcal{M}}$-スラッシュ作用を導入し、自動形式の変換法則を一般化する。
• $|_{\rho,\mathcal{M}}$-スラッシュ作用と可換な微分作用素の代数 $\mathbb{D}_{\rho,\mathcal{M}}$ を定義し、その中心 $\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$ を研究する。
• 明示的な不変微分作用素の例を構成し、特に $n=1$、$m$ を任意として、3次のカシミール作用素 $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}$ を構成し、$\mathcal{Z}_{\det^k,\mathcal{M}}$ を生成することを示す。
• 理論を応用し、特定の成長条件と変換性を満たす固有関数として Maass-Jacobi 形式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーゲル・ジャコビ空間 $\mathbb{H}_n \times \mathbb{C}^{(m,n)}$ 上の $G^J$-不変微分作用素の代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ の明示的生成子は何か？
• RQ2 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ の構造は、$T_{n,m}$ 上の $U(n)$-不変多項式の代数とどのように関係するか？
• RQ3 与えられた表現 $\rho$ とインデックス $\mathcal{M}$ に対して、$|_{\rho,\mathcal{M}}$-スラッシュ不変微分作用素の代数 $\mathbb{D}_{\rho,\mathcal{M}}$ の中心 $\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$ は何か？
• RQ4 $n=1$ かつ任意の $m$ に対して、3次のカシミール型微分作用素を明示的に構成できるか？また、その作用素は中心 $\mathcal{Z}_{\det^k,\mathcal{M}}$ を生成するか？
• RQ5 このような不変微分作用素の固有関数は何か？また、それらは Maass-Jacobi 形式とどのように関係するか？

主な発見

• $n=1$ かつ任意の $m$ に対して、代数 $\mathbb{D}_{\det^k,\mathcal{M}}$ の中心 $\mathcal{Z}_{\det^k,\mathcal{M}}$ は、3次のカシミール作用素 $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}$ によって生成される。
• カシミール作用素 $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}$ は、$|_{\det^k,\mathcal{M}}$-スラッシュ不変な微分作用素であり、$\mathbb{H}_{1,m}$ 上の滑らかな関数に作用する3次微分作用素として作用する。
• Poincaré 級数 $\mathcal{P}_{k,\mathcal{M}}$ は調和 Maass-Jacobi 形式である。つまり、$\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}\mathcal{P}_{k,\mathcal{M}} = 0$ を満たし、固有値 0 の固有関数である。
• ラプラシアン $\Delta_{1,1;1,1}$ の明示的固有関数として、固有値 $s(s-1)$ を持つ $y^{1/2}K_{s-1/2}(2\pi|a|y)e^{2\pi i a x}$ と、$y^s$、$y^s x$、$y^s u$ などの単項式が挙げられる。
• 自然な全単射 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)} \to \mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ が乗法的でないため、代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ は非可換である。
• Maass-Jacobi 形式の理論は、$\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$ の固有関数として定義され、$\Gamma_{n,m}$ における変換性、固有値条件、および無限遠点における特定の成長条件を満たす。