[論文レビュー] Invariant distributions on non-distinguished nilpotent orbits with application to the Gelfand property of (GL(2n,R),Sp(2n,R))

Avraham Aizenbud, Eitan Sayag|ArXiv.org|Oct 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$D$-加群理論と非特徴的放棄的軌道に台を持つ不変分布の新しい解析を用いて、任意の$Sp_{2n}(\bbR)$-不変分布が転置に関して不変であることを示すことで、対称ペア$(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$がGelfandペアであることを確立する。分布の台とそのフーリエ変換の台の両方が非特徴的軌道にある場合、それらの分布は消えることが示され、smoothな適応的表現における多重度1性が確認される。

ABSTRACT

We study invariant distributions on the tangent space to a symmetric space. We prove that an invariant distribution with the property that both its support and the support of its Fourier transform are contained in the set of non-distinguished nilpotent orbits, must vanish. We deduce, using recent developments in the theory of invariant distributions on symmetric spaces that the symmetric pair (GL(2n,R),Sp(2n,R)) is a Gelfand pair. More precisely, we show that for any irreducible smooth admissible Frechet representation $(π,E)$ of GL(2n,R) the space of continuous functionals $Hom_{Sp_{2n}(R)}(E,C)$ is at most one dimensional. Such a result was previously proven for p-adic fields in [HR] for the field of complex numbers in [S].

研究の動機と目的

• アーキメデス的設定における対称ペア$(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$のGelfand性質を確立すること。
• 不変分布の解析を通じて、Gelfand-Kazhdanの方法を実再形式的群の設定に拡張すること。
• 分布の台とそのフーリエ変換の台の両方が非特徴的放棄的軌道にある場合、そのような不変分布が消えることを証明すること。
• $(GL_{2n}, Sp_{2n})$の対称ペアが$\bbR$上正則であることを示し、これによりGelfand性質が導かれるようにすること。

提案手法

• Nash多様体上のスチュルツ分布の理論を用いて、対称空間$\mathfrak{g}^\sigma$上の不変分布を解析する。
• 分布のフーリエ変換を適用し、$D$-加群理論を用いて分布の特異的台を解析する。
• 写像$d(X) = \begin{pmatrix}X & 0 \\ 0 & X^t \end{pmatrix}$を用いて、$H = Sp_{2n}(\bbR)$の軌道を$\mathfrak{gl}_n(\bbR)$内の放棄的軌道と一対一対応づける。
• 標準的ジョルダンブロックの像の稠密性を用いて、$\mathfrak{g}^\sigma$における唯一の特徴的放棄的軌道が開かつ$H$-不変であることを証明する。
• 共コイサイトロピック部分多様体の議論と中心化子多様体の構造を用いて、非特徴的軌道に台を持つ非自明な分布が、そのフーリエ変換も同様に非特徴的軌道に台を持つことはありえないことを示す。
• 文献[AG2]の正則性基準と上記の消滅結果を組み合わせ、対称ペアが正則である、したがってGelfandペアであることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称ペア$(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$はGelfand性質を満たすか、すなわち任意の$GL_{2n}(\bbR)$の無限可微分的適応的Fréchet表現$\pi$に対して$\dim \Hom_{Sp_{2n}(\bbR)}(\pi, \bbC) \leq 1$が成り立つか？
• RQ2 不変分布と$D$-加群技法を用いて、このペアのGelfand性質をアーキメデス的設定で確立できるか？
• RQ3 転置に関して不変でない、$Sp_{2n}(\bbR)$-不変な分布が$GL_{2n}(\bbR)$上に存在するか？
• RQ4 $Sp_{2n}(\bbR)$の作用の下での$\mathfrak{g}^\sigma$内の放棄的コーンの構造は何か？ どの軌道が特徴的か？
• RQ5 非特徴的放棄的軌道に台を持つ分布が、そのフーリエ変換も非特徴的軌道に台を持つ場合、$D$-加群理論を用いてその消滅を証明できるか？

主な発見

• 文献[AG2]で定義された正則性を満たす対称ペア$(GL_{2n}(\bbR), Sp_{2n}(\bbR))$であるため、Gelfand性質が成り立つ。
• 非特徴的放棄的軌道は$\mathfrak{g}^\sigma$に唯一つ存在し、それは放棄的コーンにおいて開集合である。
• 任意の$Sp_{2n}(\bbR)$-不変分布は、非特徴的軌道に台を持つある種の不変分布の消滅を示すことで、転置に関して不変であることが示された。
• 非特徴的放棄的軌道に台を持つ分布のフーリエ変換が、再び非特徴的軌道に台を持つことは、分布がゼロでない限りありえない。
• 非特徴的軌道上で、支持とフーリエ変換の支持が同時に満たされる非自明な分布が存在しないことを、$D$-加群理論と共コイサイトロピック部分多様体の議論を用いて示した。
• この結果により、$GL_{2n}(\bbR)$表現における$Sp_{2n}(\bbR)$に関する多重度1性が確認され、$\bbC$および$p$進数体上での既存の結果が拡張された。