[論文レビュー] Invariant embeddings of unimodular random planar graphs

Itaï Benjamini, Ádám Timár|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限の期待次数をもつエルゴディックで一様なランダムな一端を持つ平面的グラフが、等長変換不変かつ局所的に有限な埋め込みをユークリッド平面に持つための必要十分条件は、そのグラフが不変的アメーブルであることであることを確立している。非アメーブルなグラフについては、双曲平面にそのような埋め込みが存在する。結果は一様なタイリングへと拡張され、ユークリッドの場合には不変点過程、双曲の場合には円板パッキングを用いた構成が行われ、一端を持つグラフに関して完全な二分岐が得られた。

ABSTRACT

Consider an ergodic unimodular random one-ended planar graph $\G$ of finite expected degree. We prove that it has an isometry-invariant locally finite embedding in the Euclidean plane if and only if it is invariantly amenable. By "locally finite" we mean that any bounded open set intersects finitely many embedded edges. In particular, there exist invariant embeddings in the Euclidean plane for the Uniform Infinite Planar Triangulation and for the critical Augmented Galton-Watson Tree conditioned to survive. Roughly speaking, a unimodular embedding of $\G$ is one that is jointly unimodular with $\G$ when viewed as a decoration. We show that $\G$ has a unimodular embedding in the hyperbolic plane if it is invariantly nonamenable, and it has a unimodular embedding in the Euclidean plane if and only if it is invariantly amenable. Similar claims hold for representations by tilings instead of embeddings.

研究の動機と目的

• 有限の期待次数をもつエルゴディックで一様なランダムな一端を持つ平面的グラフが、ユークリッド平面または双曲平面に等長変換不変かつ局所的に有限な埋め込みをもつための条件を同定すること。
• グラフの不変的アメーブル性と関連づけて、一様な埋め込みおよびタイリングの存在を特徴づけること。
• ユークリッドの場合には不変点過程、双曲の場合には円板パッキングを用いた、そのような埋め込みおよびタイリングを構成的に構築する方法を提供すること。
• 一様な埋め込みおよびタイリングの文脈において、アメーブルと非アメーブルなグラフの間の二分岐を解明すること。
• タイリング表現を含む枠組みを拡張し、一様性が等長変換の下での不変性を保つ役割を明確にすること。

提案手法

• 適切な不変点過程を頂点集合として用いることで、ユークリッド平面における等長変換不変な埋め込みを構成し、その埋め込みグラフが一様であることを保証する。
• 双曲幾何の剛性を活用して、双曲平面における不変的非アメーブルなグラフのための一様な埋め込みを、円板パッキング技術を用いて構成する。
• グラフとその埋め込みの同時分布が一様である場合に一様な埋め込みを定義し、自己同型の下での定常性を保証する。
• 背理法を用いて、ユークリッド埋め込みにおける不変的アメーブル性の必要性を証明し、平面を正方形に分割する不変確率的分割を用いる。
• 各タイルにランダムに点を選び、その点を隣接タイルと接続することで、タイリング問題を埋め込み問題に還元し、不変性と局所的有限性を保つ。
• AldousとLyons [1] のパンル測度に関する結果を応用し、不変埋め込みのパンル版がアメーブルな場合に一様な埋め込みであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の期待次数をもつエルゴディックで一様なランダムな一端を持つ平面的グラフが、ユークリッド平面に等長変換不変かつ局所的に有限な埋め込みをもつための条件は何か？
• RQ2 不変的非アメーブルな一様なランダム平面的グラフは、双曲平面に一様に埋め込むことができるか？
• RQ3 このようなグラフに対して、ユークリッド平面または双曲平面に一様なタイリング表現が存在するか？ そのような表現が存在するのはいつか？
• RQ4 不変的アメーブル性と、対称空間（ユークリッド平面および双曲平面）における一様な埋め込みまたはタイリングの存在との関係は何か？
• RQ5 底面の空間の幾何的性質（ユークリッド対双曲）は、一様な埋め込みの構成可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 有限の期待次数をもつエルゴディックで一様なランダムな一端を持つ平面的グラフが、ユークリッド平面に等長変換不変かつ局所的に有限な埋め込みをもつための必要十分条件は、そのグラフが不変的アメーブルであることである。
• 不変的非アメーブルなグラフについては、双曲平面に一様かつ局所的に有限な埋め込みが存在するが、ユークリッド平面には存在しない。
• 同様の二分岐は一様なタイリング表現に対しても成り立つ：アメーブルなグラフはユークリッド平面でそのようなタイリングをもつが、非アメーブルなグラフは双曲平面でそのようなタイリングをもつ。
• すべての一様なタイリング構成において、原点を含むタイルの期待面積は有限であり、これにより局所的有限性が保証される。
• ユークリッドの場合の「ただしだけ」の方向の証明は、平面の不変な有限な消耗をランダムな分割により構成することで行われ、これがアメーブル性を強制する。
• アメーブルな場合の構成では、不変埋め込みのパンル版を用い、AldousとLyons [1] の議論により、これが一様であることが示された。