[論文レビュー] Invariant functions on supermatrices

Vladimir Shander|ArXiv.org|Oct 17, 1998

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の超可換超代数 C に対する Q(n; C) 上の GQ(n; C)-不変関数、および Mat(n|n; C) の奇数部分上の GL(n; C)-不変関数を分類し、超群 GL(n|n) および GQ(n) が超行列空間に作用する場合の不変関数の関手的記述を提供する。主な結果は、これらの不変関数が対称関数および超トレース構成を用いて同定されることであり、超代数 C に依存しない表現論的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

There are two superanalogs of the general linear group: GL(m|n) and GQ(n). For any supercommutative superalgebra C let G(C) be the set of C-points of the supermanifold G. Here there are described the GQ(n; C)-invariant functions on Q(n; C) and GL(n; C)-invariant functions on the odd subspace of Mat (n|n; C), more exactly, the invariants of the action of Lie supergroups GQ(n) and GL(n|n) on the supermanifolds corresponding to Q(n; C) and the odd subspace of Mat(n|n; C). The obtained answer is interpreted in terms of GL(n; C)-invariants on Q(n; C) and GL(n|n; C)-invariants on the odd subspace of Mat (n|n; C) described functorially in (i.e., independently of) C.

研究の動機と目的

• 任意の超可換超代数 C に対して、超多様体 Q(n; C) 上の GQ(n; C)-不変関数を分類すること。
• Lie 超群 GL(n|n) の作用に注目し、Mat(n|n; C) の奇数部分上の GL(n; C)-不変関数を特定すること。
• 超代数 C の選択に依存しない不変関数の記述を、関手的手法を用いて提供すること。
• 結果を、超表現論における対称関数および超トレースに類似する構成の観点から解釈すること。

提案手法

• 本稿は、超代数 C をパrameterとみなして、超行列空間上の不変関数を関手的手法で記述する。
• Lie 超群 GQ(n) が超多様体 Q(n; C) に作用する様子を分析し、超トレースおよび行列式の構成を用いて不変関数を同定する。
• Mat(n|n; C) の奇数部分に対しては、GL(n|n) の作用を研究し、その作用下での多項式的不変関数を同定する。
• 分類は、超可換性およびグラスマン変数の構造を含む超代数的技法に依存する。
• 不変環の特徴付けには、可換代数および表現論の道具が用いられる。
• 結果は、対称関数および超多項式的不変関数の観点から表現され、超代数 C に依存しない関手的独立性に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超多様体 Q(n; C) 上の GQ(n; C)-不変関数の構造はいかなるものか？
• RQ2 GL(n|n) の不変関数は Mat(n|n; C) の奇数部分にどのように作用するのか？ その代数的形は何か？
• RQ3 超代数 C の選択に依存しない形で、超行列空間上の GL(n|n) および GQ(n) の不変関数を記述できるか？
• RQ4 対称関数および超トレースは、これらの不変関数を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 古典的 GL(n; C) の不変関数と比較して、これらの不変関数は超設定においてどのように関係しているか？

主な発見

• Q(n; C) 上の GQ(n; C)-不変関数は、超トレースおよび超行列式に類する不変関数によって生成され、特定の超変数における多項式環をなす。
• Mat(n|n; C) の奇数部分上の GL(n; C)-不変関数は、n 個の変数における対称関数の環と同型である。
• 不変関数は関手的に定義されており、その構造は特定の超代数 C の選択に依存しない。
• 不変関数の分類は、グラスマン生成子および超可換関係を含む超代数的構成によって達成される。
• 本稿は、GL(n|n) が奇数行列空間に作用する不変関数と、n 個の変数における対称多項式との間の明確な対応関係を確立する。
• 表現論的および可換代数的技法を用いて、不変環の完全な記述がなされている。