[論文レビュー] Invariant Gibbs measures and global strong solutions for nonlinear Schrödinger equations in dimension two

Yu Deng, Andrea R. Nahmod+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 63被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、2次元トーラス上の散乱のない非線形シュレーディンガー方程式に対して、 Wick順序付けられた多項式非線形項（次数 $2r+1$、$r \geq 1$）をもつ場合に、Gibbs測度に関してほとんど確実な大域的良設定性と測度不変性を確立している。これは、Bourgainの立方非線形項に対する結果を高次非線形項へ拡張したものであり、有限次元切断の極限がGibbs測度に関してほとんど確実に一意に存在することを証明している。

ABSTRACT

We consider the defocusing nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{T}^2$ with Wick ordered power nonlinearity, and prove almost sure global well-posedness with respect to the associated Gibbs measure. The heart of the matter is the uniqueness of the solution as limit of solutions to canonically truncated systems. The invariance of the Gibbs measure under the global dynamics follows as a consequence. The proof relies on the novel idea of random averaging operators.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス $\mathbb{T}^2$ 上の散乱のない非線形シュレーディンガー方程式に対して、次数 $2r+1$（$r \geq 2$）のWick順序付けられた非線形項をもつ場合に、ほとんど確実な大域的強い解を確立すること。これは、立方非線形項に対するBourgainの結果を高次非線形項へ拡張することを目的とする。
• 解写像が、Gibbs測度に関してほとんど確実に、標準的切断された有限次元系の解の極限として一意に得られることを証明すること。
• 方程式の大域的ダイナミクスにおいてGibbs測度が不変であることを確立すること。
• OhとThomannの先行研究におけるほとんど確実な弱解の枠組みを超えて、$r \geq 2$ の場合に確率的設定下での解の一意性を解明するという未解決問題を解決すること。

提案手法

• Wick順序付けられた非線形項から得られる切断されたポテンシャルエネルギー $V[u]$ を用いて、重み付きウィーナー測度としてGibbs測度 $\mathrm{d}\mu = Z^{-1} e^{-V[u]} \, \mathrm{d}\rho$ を構成する。
• スペクトル射影 $\Pi_N$ と切断されたWick巾 $W_N^{2r+1}$ を用いて、有限次元切断系 (1.7) を定義し、各 $N$ に対して良設定性を保証する。
• 切断された流れと完全な流れの差に対する精密な推定を用いて、各 $t \in \mathbb{R}$ に対して $u_N(t)$ が $H^{0-}(\mathbb{T}^2)$ 内でほとんど確実に極限 $u(t)$ に収束することを証明する。
• ゲージ変換技術と長時間安定性推定を用いて、切断された流れ $\Phi_t^N$ と完全な流れ $\Phi_t$ の間の誤差を制御し、誤差が $N^{-1+\gamma}(\log N)^{\alpha+K}$ のオーダーで減少することを示す。
• 切断されたGibbs測度 $\mathrm{d}\mu_N^\circ$ の収束と流れの収束を用いて、近似とコンパクトネスの議論により測度不変性を確立する。
• Radon-Nikodym導関数 $e^{-V[u]}$ がすべての $q < \infty$ に対して $L^q(\mathrm{d}\rho)$ に属することを活用し、Gibbs測度が適切に定義され、ウィーナー測度と絶対連続であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラス $\mathbb{T}^2$ 上の散乱のない非線形シュレーディンガー方程式に、高次非線形項（$2r+1 \geq 5$）をもつ場合、Gibbs測度に関してほとんど確実な大域的強い解が存在するか？
• RQ2 方程式の解は、Gibbs測度に関してほとんど確実に、有限次元切断系の解の極限として一意に得られるか？
• RQ3 大域的解写像はGibbs測度を不変に保つのか、すなわち測度はダイナミクスの下で不変か？
• RQ4 OhとThomannの弱解フレームワークを超えて、$r \geq 2$ の場合に確率的設定下での解の一意性を確立できるか？
• RQ5 確率的設定下で、切断された解 $u_N(t)$ から大域的解 $u(t)$ への収束速度はどの程度か？

主な発見

• 非線形シュレーディンガー方程式 (1.1) の解 $u(t)$ は時刻全域で大域的に存在し、Gibbs測度 $\mathrm{d}\mu$ に関してほとんど確実に、切断系 (1.7) の解 $u_N(t)$ の極限として一意に得られる。
• $u_N(t)$ から $u(t)$ への収束は、すべての $t \in \mathbb{R}$ に対して $H^{0-}(\mathbb{T}^2)$ 内で成立し、誤差の見積もりは $N^{-1+\gamma}(\log N)^{\alpha+K}$ のオーダー（$\gamma < 1$、初期データの正則性に依存）をとる。
• Gibbs測度 $\mathrm{d}\mu$ は大域的流れ $\Phi_t$ に関して不変である。すなわち、すべてのボレル集合 $E \subset \Sigma$ とすべての $t \in \mathbb{R}$ に対して $\mu(\Phi_t^{-1}(E)) = \mu(E)$ が成り立つ。これは近似とコンパクトネスの議論により確立された。
• 切断されたポテンシャルエネルギー $V_N[u]$ は、$W_N^{2r+2}(\Pi_N u)$ の極限として $V[u]$ にほとんど確実に収束し、ハミルトニアン構造が極限においても保存されることを保証する。
• 解写像 $\Phi_t$ はボレル可測であり、コンパクト部分集合 $H^{-\varepsilon}(\mathbb{T}^2)$ 上で時間に関して連続であるため、測度不変性の証明においてコンパクトネスの議論が利用可能である。
• 証明により、解が存在しかつ一意である初期データの集合が $\mu$-測度で全測度を占めることを示しており、$r \geq 2$ の場合にほとんど確実な大域的良設定性が確認された。