[論文レビュー] Invariant Gibbs measures for the 2-d defocusing nonlinear Schrödinger equations

Tadahiro Oh, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpakト多様体またはR²内の有界領域における2次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、エルミート多項式およびラゲール多項式を用いたウィック再正規化により、ギブズ測度を構成する。初期データがギブズ測度に従う場合の時間全域にわたる解の存在を確立し、時間発展演算子のもとでも解の分布が常に同じギブズ測度に従うことを証明する。

ABSTRACT

We consider the defocusing nonlinear Schrodinger equations on the two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary or a bounded domain in $\mathbb{R}^2$. In particular, we discuss the Wick renormalization in terms of the Hermite polynomials and the Laguerre polynomials and construct the Gibbs measures corresponding to the Wick ordered Hamiltonian. Then, we construct global-in-time solutions with initial data distributed according to the Gibbs measure and show that the law of the random solutions, at any time, is again given by the Gibbs measure.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体またはR²内の有界領域における2次元非焦点的非線形シュレーディンガー方程式へのギブズ測度の構成を拡張すること。
• 再正規化のためのエルミート多項式およびラゲール多項式を用いて、ウィック順序付きハミルトニアンを厳密に定義すること。
• 初期データがギブズ測度に従う場合の時間全域にわたる解の存在を確立すること。
• 任意の時刻tにおける解の分布が常に同じギブズ測度に従うことを証明し、測度の不変性を示すこと。

提案手法

• ヒルベルト空間上のガウス測度の文脈において、エルミート多項式を用いたウィック再正規化を用いる。
• ラゲール多項式を用いて、ギブズ測度をウィック順序付きハミルトニアンの形で表現する。
• ギブズ測度を、H_Wick（再正規化されたハミルトニアン）に比例する形式的確率測度 exp(−H_Wick) として構成する。
• 2次元における非線形項の特異性に対処するため、確率解析および偏微分方程式の技法を用いる。
• 正則化された方程式の極限による手続きを用いて、非線形シュレーディンガー方程式の流れにおけるギブズ測度の不変性を確立する。
• コンパクト多様体上のラプラシアンのスペクトル論および関連するエルミート展開に基づく構成に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体またはR²内の有界領域における2次元非焦点的非線形シュレーディンガー方程式に対して、ギブズ測度を構成できるか？
• RQ2 エルミート多項式およびラゲール多項式によるウィック順序付けを用いて、この文脈におけるハミルトニアンの再正規化はどのように行えるか？
• RQ3 初期データが構成されたギブズ測度に従う場合、時間全域にわたる解は存在するか？
• RQ4 非線形シュレーディンガー方程式の時間発展演算子のもとでギブズ測度は不変か？

主な発見

• ギブズ測度は、エルミート多項式およびラゲール多項式の展開を用いてウィック順序付きハミルトニアンに関連する確率測度として構成される。
• この構成は、コンパクトなリーマン多様体またはR²内の有界領域における2次元非焦点的非線形シュレーディンガー方程式に対して有効である。
• ギブズ測度に従うほとんどすべての初期データに対して、時間全域にわたる解が存在する。
• 任意の固定時刻tにおける解の分布は、常に同じギブズ測度に従うことが確認され、流れにおける不変性が裏付けられる。
• 正則化された方程式の極限手続きと分布収束を用いて不変性が確立される。
• この結果は、非線形シュレーディンガー方程式の力学的挙動におけるギブズ測度の統計的平衡性を示している。