[論文レビュー] Invariant Gibbs measures for the 2-d defocusing nonlinear wave equations

Tadahiro Oh, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元非線形波動方程式（NLW）のエネルギー関数のポテンシャル項における発散を処理するために、ウィック順序付けによる正規化を用いて不変ギブス測度を構成する。弱い普遍性を示すことにより、ガウス確率初期データを伴う正規化されていないNLWのスケーリング極限として、正規化されたNLWが得られることを示し、2次元空間における確率的初期データと正規化された力学的挙動の間の厳密な関係を確立する。

ABSTRACT

We consider the defocusing nonlinear wave equations (NLW) on the two-dimensional torus. In particular, we construct invariant Gibbs measures for the renormalized so-called Wick ordered NLW. We then prove weak universality of the Wick ordered NLW, showing that the Wick ordered NLW naturally appears as a suitable scaling limit of non-renormalized NLW with Gaussian random initial data.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上での非焦点的非線形波動方程式（NLW）に対する不変ギブス測度を構成すること。形式的には力学に不変であるが、ポテンシャルエネルギーの発散により定義されない。
• ハミルトニアンの非線形項に対してウィック正規化を適用することで、ギブス測度構成における発散問題を解消すること。
• ウィック順序付けされたNLWが、ガウス確率初期データを伴う正規化されていないNLWのスケーリング極限として自然に現れることを示し、弱い普遍性を確立すること。
• 正規化極限における解の収束とほとんど確実な局所適切性を示すことにより、ギブス測度の厳密な動的枠組みを提供すること。
• 結果の正規化および収束性が、一般の2次元コンactリーマン多様体および境界条件を伴う有界領域に対しても成立することを示し、そのロバスト性を示すこと。

提案手法

• NLWのハミルトニアン形式を用いて、エネルギー関数Hに基づく形式的ギブス測度 exp(−βH(u,v)) を定義する。
• 発散問題の特定：ガウス事前分布のもとで、解uのL^{2m+2}ノルムがほとんど確実に無限大になるため、ギブス測度が無効になる。
• Hermite多項式を用いて非線形項u^{2m+2}にウィック順序付けを適用し、:u^{2m+2}: を (P_N u)^{2m+2} : の正規化極限として定義する。
• 超収縮性およびネルソンの推定を用いて、:u^{2m+2}: がすべてのp < ∞に対してL^p(µ)でwell-definedであることを証明する。
• 不変ギブス測度 dP^{(2m+2)}_2 = Z^{-1} exp(−H_{Wick}) du ⊗ dv を構成し、ガウス事前分布µに対して絶対連続であることを示す。
• X^{s,b}空間における確率的（ほとんど確実な）局所適切性を用いて、正規化された方程式に対する収縮写像の議論を展開し、高確率的でεに依存しない存在時間の均一性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なギブス測度が非線形ポテンシャルの発散により失敗する2次元非焦点的NLWに対して、不変ギブス測度を構成できるか？
• RQ2 ウィック順序付けされた非線形項の使用が発散問題を解消し、有限で不変な測度をもたらすか？
• RQ3 ウィック順序付けされたNLWが、ガウス初期データを伴う正規化されていないNLWのスケーリング極限として実現可能であり、物理的・数学的妥当性を裏付けるか？
• RQ4 非正規化された方程式から正規化された方程式への解の収束はほとんど確実であり、スケーリングパラメータεに依存しない局所存在時間の均一性が保たれるか？
• RQ5 正規化手続きはNLWの力学的挙動にどのように影響するか？また、確率的初期データは正規化極限を生成する役割を果たすか？

主な発見

• ガウス事前分布µのもとで、正規化されたハミルトニアン H_{Wick} はほとんど確実にwell-definedかつ有限であり、適切な不変ギブス測度の構成が可能になる。
• ギブス測度 P^{(2m+2)}_2 はガウス事前分布µに対して絶対連続であり、非退化しており、s < 0 に対して H^s × H^{s-1} に台を持つ。
• s > s_{crit} = 1 - 1/m に対して、ウィック順序付けされたNLW方程式はX^{s,b}空間でほとんど確実に局所適切であり、スケーリングパラメータεに依存しない存在時間の均一性を有する。
• ガウス初期データを伴う非正規化NLWの解u_εは、s < 0 に対して、C([-T,T]; H^s(T^2)) 内でほとんど確実に、ウィック順序付けされたNLWの解uに収束する。
• 収束はε > 0に対して一様であり、非線形項のテイラー展開からの誤差項はほとんど確実に o_ε(1) として制御される。
• 弱い普遍性の結果により、ウィック順序付けされたNLWが、ガウス初期データを伴うNLWの自然な極限的力学として得られることを示し、統計力学および確率的偏微分方程式におけるその有用性を裏付ける。