[論文レビュー] Invariant Hochschild cohomology of smooth functions

Lukas Miaskiwskyi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多様体上の滑らかな関数のホッホシュライドコホモロジーがリー群作用に関して不変である場合、コチェーンの不変性とコホモロジー類の不変性の違いを検討する。特に、適切な群作用の下では、これら二つの概念が一致することを証明し、不変ホッホシュライド＝コスタント＝ローゼンバーグ定理を確立する。この定理により、不変コホモロジーは不変の多ベクトル場と同型であることが示される。

ABSTRACT

Given an action of a Lie group on a smooth manifold, we discuss the induced action on the Hochschild cohomology of smooth functions, and notions of invariance on this space. Depending on whether one considers invariance of cochains or invariance of cohomology classes, two different spaces of invariants arise. We perform a general comparison of these notions, give an interpretation of the lower orders of the invariant cohomology spaces and conclude as our main result that for proper group actions both spaces are isomorphic. As a corollary and a geometric interpretation, an invariant version of the Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem is given, identifying the cohomology of invariant cochains with invariant multivector fields. Using this theorem, we shortly discuss the invariant Hochschild cohomology in the case of homogeneous spaces.

研究の動機と目的

• リー群作用の下でのホッホシュライドコチェーンの不変性とホッホシュライドコホモロジー類の不変性の違いを明確にすること。
• 不変コチェーンのコホモロジーと不変コホモロジー類の空間との関係を調査すること。
• 特に適切な群作用の下で、これらの二つの不変空間が同型である条件を確立すること。
• 不変ホッホシュライド＝コスタント＝ローゼンバーグ定理を通じて幾何的解釈を与えること。
• 結果を同次空間に適用し、不変コホモロジーと不変の多ベクトル場との関係を明らかにすること。

提案手法

• 群作用によるコチェーン複体への作用に基づくコチェーンの不変性と、コホモロジーへの誘導作用に基づくコホモロジー類の不変性という二つの不変性の概念を導入する。
• 二つの不変空間の間の自然な準同型写像 $\iota: \mathrm{HH}^{\bullet}_G(\mathscr{A}, \mathsf{N}) \to \mathrm{HH}^{\bullet}(\mathscr{A}, \mathsf{N})^G$ を定義する。
• 適切な作用における不変パartition of unityの存在を用いて、コチェーン上に平均化作用素を構成し、$\iota$ の単射性を保証する。
• 古典的ホッホシュライド＝コスタント＝ローゼンバーグ定理を適用することで、群作用に制限を設けずに $\iota$ の全射性を導出する。
• 半ノルム推定と局所的に有限なパartition of unityを用いて、平均化写像の連続性およびコチェーンの局所的に有限な和の性質を厳密に証明する。
• 不変多ベクトル場のコホモロジーと $\mathrm{HH}^{\bullet}_G(C^\infty(M))$ を同一視することにより、幾何的解釈を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変コチェーンの空間と不変コホモロジー類の空間が一致する条件は何か？
• RQ2 群作用は多様体上の滑らかな関数のホッホシュライドコホモロジーにどのように影響を与えるか？
• RQ3 不変コチェーンのコホモロジーは微分幾何学的にどのような意味を持つのか？
• RQ4 適切な群作用の下で、不変ホッホシュライド＝コスタント＝ローゼンバーグ定理を確立できるか？
• RQ5 不変コホモロジーは同次空間の幾何学とどのように関係するか？

主な発見

• 滑らかな多様体 $M$ 上の適切なリー群作用に対して、自然な写像 $\iota: \mathrm{HH}^{\bullet}_G(C^\infty(M)) \to \mathrm{HH}^{\bullet}(C^\infty(M))^{G}$ は同型である。
• 適切な作用における不変パartition of unityの存在のおかげで、コチェーン上に平均化作用素を構成でき、これが同型の成立を可能にする。
• 不変コチェーンのコホモロジーは、不変多ベクトル場のコホモロジーと同型であり、不変ホッホシュライド＝コスタント＝ローゼンバーグ定理が得られる。
• $\iota$ の全射性は古典的HKR定理から従い、群作用に制限は必要ないが、単射性は適切性に依存する。
• 半ノルム推定とコンパクトな被覆の技法を用いて、平均化写像の連続性およびコチェーンの局所的に有限な和の性質を厳密に確立した。
• 結果として、対称位相空間における不変変形の有限次元分類が可能となった。