[論文レビュー] Invariant Imbedding Equations for Electromagnetic Waves in Stratified Magnetic Media: Applications to One-Dimensional Photonic Crystals

Kihong Kim, Halston Lim+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2002

Photonic Crystals and Applications参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、誘電率と透磁率が空間的に任意に変化する1次元積層磁性媒質における電磁波の不変埋め込み方程式を導出する。初期値問題として1階常微分方程式系を解くことで、s偏光波およびp偏光波の両方について、反射・透過係数および内部電場振幅を正確に計算可能となり、光響き帯ギャップの形成において波のインピーダンス—屈折率ではなく—が鍵要因であることが明らかになった。

ABSTRACT

We derive the invariant imbedding equations for plane electromagnetic waves propagating in stratified magnetic media, where both dielectric and magnetic permeabilities vary in one spatial direction in an arbitrary manner. These equations allow us to obtain the reflection and transmission coefficients of the waves and the field amplitudes inside the media exactly for any polarization and incident angle of the incoming wave by solving an initial value problem of a small number of ordinary differential equations. We apply our results to one-dimensional photonic crystals, where the periodic variations of both dielectric and magnetic permeabilities create photonic band gaps in the frequency spectrum.

研究の動機と目的

• 誘電率および透磁率が空間的に変化する積層媒質における電磁波伝播を解く一般的手法の開発。
• 不変埋め込み法を磁性媒質に拡張し、反射・透過係数および電場振幅の正確解を可能にする。
• 1次元フォトニッククリスタルにおけるフォトニック帯ギャップ形成において、波インピーダンスと屈折率の役割の解明。
• 周期的積層構造（誘電体と磁性体が交互に配置）に対する数値解を用いて、手法の妥当性を検証。
• 一定の屈折率または波インピーダンスの条件下で、s波およびp波の帯ギャップが対称的・等価であることを示す。

提案手法

• 任意の空間的変化を示すε(z)およびμ(z)を有する積層媒質における電場複素振幅の1階不変埋め込み方程式を導出。
• 境界条件 E(z;z) = 1 + r(z) を用いて、界面から内側に向かって積分することで初期値問題として問題を定式化。
• 支配方程式におけるεとμの対称性を活用し、s偏光波およびp偏光波の両方の解析に適用。
• 得られた常微分方程式系の数値解を用いて、反射・透過係数を計算。
• 数値結果の妥当性を検証するため、伝達行列法による解析的帯ギャップ条件をベンチマークとして用いる。
• 誘電体とフェリット様材料が交互に配置された100周期フォトニッククリスタルに、本手法を適用し、透過スペクトルおよび帯ギャップ形成を検討。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変埋め込み法は、積層媒質における空間的に変化する透磁率を含めるようにどのように一般化可能か？
• RQ2 周期的磁性-誘電体構造におけるフォトニック帯ギャップの存在およびサイズを決定づける波インピーダンスの役割は何か？
• RQ3 1次元フォトニッククリスタルにおいて、s偏光波およびp偏光波が同一のフォトニック帯ギャップを示す条件は何か？
• RQ4 不変埋め込み法は、任意の非一様磁性媒質における反射・透過係数の正確解を提供可能か？
• RQ5 屈折率が一定であるが波インピーダンスが周期的に変化する場合、帯ギャップ特性はどのように変化するか？

主な発見

• 不変埋め込み方程式は、εおよびμが空間的に任意に変化する1次元積層媒質において、反射・透過係数および内部電場振幅を正確に求める解を提供する。
• 誘電率と透磁率が交互に配置された100周期フォトニッククリスタルにおいて、不変埋め込み法で得られた透過スペクトルは、伝達行列法による解析的帯ギャップ予測と一致する。
• 屈折率が一定（n_a = n_b = 2）の場合、s波およびp波の帯ギャップはサイズおよび位置ともに同一であり、理論的対称性が裏付けられる。
• 波インピーダンスが一定（Z_a = Z_b）の場合、s波およびp波の帯ギャップは依然として対称的であるが、帯ギャップサイズは屈折率の周期的変調に依存する。
• 垂直入射（θ = 0°）のとき、ε_a=4, μ_a=1, ε_b=2, μ_b=2 の構造では、解析式で予測された1.23 < k₀Λ < 1.91 の範囲に最初の帯ギャップが存在する。
• 斜入射（θ = 45°）のとき、帯ギャップは1.32 < k₀Λ < 2.04 にシフトし、不変埋め込み法はこのシフトおよび対応する透過度の谷を正確に捉えている。