[論文レビュー] Invariant integration theory on non-compact quantum spaces: Quantum (n,1)-matrix ball

Klaus-Detlef Kuersten, Elmar Wagner|ArXiv.org|May 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、作用素代数を用いて非コンパクトな量子空間に対する不変積分理論を構築し、特に量子(n,1)-行列球を対象としている。量子群作用の作用素展開を通じて一般化量子トレースを定義し、不変性をスペクトル性質とヒルベルト空間表現によって証明する。積分はq-変形された格子点の和として表現される。

ABSTRACT

An operator theoretic approach to invariant integration theory on non-compact quantum spaces is introduced on the example of the quantum (n,1)-matrix ball O_q(Mat_{n,1}). In order to prove the existence of an invariant integral, operator algebras are associated to O_q(Mat_{n,1}) which allow an interpretation as ``rapidly decreasing'' functions and as functions with compact support on the quantum (n,1)-matrix ball. It is shown that the invariant integral is given by a generalization of the quantum trace. If an operator representation of a first order differential calculus over the quantum space is known, then it can be extended to the operator algebras of integrable functions. Hilbert space representations of O_q(Mat_{n,1}) are investigated and classified. Some topological aspects concerning Hilbert space representations are discussed.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな量子空間に対して、標準的なハール汎関数が非存在するため、不変積分理論を厳密に確立すること。
• ヒルベルト空間設定における急速減少作用素として、量子(n,1)-行列球上での可積分関数のクラスを定義すること。
• 群的要素の作用を作用素展開によって実現することで、量子トレースを一般化し、不変積分として用いること。
• 量子空間のヒルベルト空間表現を分類し、それらを用いて積分の定義と不変性の検証を行うこと。
• 異なる表現が異なる可積分関数の代数をもたらすことを示し、代数的に同型でも幾何的に異なる量子空間を区別可能にする。

提案手法

• 量子空間 O_q(Mat_{n,1}) に対する *-表現 π を、稠密な部分空間 D 上の有界作用素に構成し、H = D̄ としてヒルベルト空間 H を得る。
• 量子群作用の作用素展開を導入し、生成子の作用を表現空間上の左乗算作用素 L_i および右乗算作用素 R_i で表現する。
• f ∈ O_q(Mat_{n,1}) に対して、一般化量子トレースを h(f) = c · Tr(Γ Q_1^{n+1} π(f)) として定義する。ここで Γ および Q_i は作用を実現する特定の作用素である。
• すべての X ∈ U_q(sl_n) および f が代数に属する場合に h(X ⋗ f) = ε(X)h(f) を満たすことを検証することで、一般化トレースが量子群作用に対して不変であることを証明する。
• 作用素のトレースクラス性とスペクトル理論を用いて、可積分関数の代数上でのトレースの収束性と定義可能性を保証する。
• 可積分関数の代数が、量子空間の元による乗算および量子群作用に対して安定であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな量子空間では正規化されたハール汎関数が存在しないため、不変積分をどのように定義できるか。
• RQ2 非コンパクトな設定において、量子トレースを一般化するための作用素論的枠組みは何か。
• RQ3 量子空間のヒルベルト空間表現は、可積分関数の構成および積分の不変性とどのように関係するか。
• RQ4 量子群 U_q(sl_n) が量子(n,1)-行列球上で作用する場合、一般化量子トレースが不変であることをどのように証明できるか。
• RQ5 異なる表現がどのように異なる可積分関数の代数をもたらすか。また、これは基礎となる量子空間の幾何的差をどのように反映するか。

主な発見

• 非コンパクトな量子(n,1)-行列球上の不変積分 h は、一般化量子トレースとして h(f) = c · Tr(Γ Q_1^{n+1} π(f)) で与えられる。ここで f ∈ O_q(Mat_{n,1}) である。
• すべての X ∈ 量子群および f が代数に属する場合に h(X ⋗ f) = ε(X)h(f) を満たすため、積分は U_q(sl_n) の作用に対して不変である。
• 多項式で p_{IJ} = 0 となるのは I=J=0 の場合に限るとき、積分は明示的に h(f) = c ∑_{j₁,…,jₙ ∈ ℕ₀} p_{00}(q^{j₁},…,q^{jₙ}) q^{j₁}⋯q^{jₙ} として計算できる。
• 関与する作用素がトレースクラスであり、作用が可積分関数の代数を保存するため、一般化量子トレースは適切に定義されかつ有限である。
• ヒルベルト空間表現は可積分関数の構造を分類でき、自己共役作用素の関数を定義するためにスペクトル理論を用いることができる。
• 異なる表現は異なる可積分関数の代数をもたらし、代数的に同型でも幾何的に異なる量子空間を区別可能にする。