[論文レビュー] Invariant Means

Alan Horwitz|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2000

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、複数変数における対称平均に対して、タイプ1およびタイプ2という2つの新しい不変性特性を導入する。与えられた厳密かつ単調な二変数平均 m に対して、m に対してタイプ1不変性を満たす唯一の三変数平均 M が存在することを証明する。同様に、与えられた三変数平均 M に対して、m に対してタイプ2不変性を満たす唯一の二変数平均 m が存在することを示す。対数平均 L₃ は、二変数対数平均 L(a,b) に対してタイプ1不変性を満たすが、タイプ2不変性を満たさないことが示される。

ABSTRACT

Let m(a,b) and M(a,b,c) be symmetric means. We say that M is type 1 invariant with respect to m if M(m(a,c),m(a,b),m(b,c)) = M(a,b,c) for all a, b, c > 0. If m is strict and isotone, then we show that there exists a unique M which is type 1 invariant with respect to m. In particular we discuss the invariant logarithmic mean L_3, which is type 1 invariant with respect to L(a,b) = (b-a)/(log b-log a). We say that M is type 2 invariant with respect to m if M(a,b,m(a,b)) = m(a,b) for all a, b > 0. We also prove existence and uniqueness results for type 2 invariance, given the mean M(a,b,c). The arithmetic, geometric, and harmonic means in two and three variables satisfy both type 1 and type 2 invariance. There are means m and M such that M is type 2 invariant with respect to m, but not type 1 invariant with respect to m(for example, the Lehmer means). L_3 is type 1 invariant with respect to L, but not type 2 invariant with respect to L.

研究の動機と目的

• 二変数および三変数における対称平均に対する、タイプ1およびタイプ2という2つの新しい不変性特性を定義し、分析すること。
• 与えられた二変数平均 m に対して、三変数平均 M がタイプ1不変性を満たすような一意な M が存在する条件を確立すること。
• 与えられた三変数平均 M に対して、二変数平均 m がタイプ2不変性を満たすような条件を調査すること。
• 古典的平均（算術平均、幾何平均、調和平均、対数平均、レーマー平均）とこれらの不変性特性との関係を検討すること。
• 三変数対数平均 L₃ が、二変数対数平均 L(a,b) に対して両方の不変性タイプを満たすかどうかを特定すること。

提案手法

• すべての a, b, c > 0 に対して M(m(a,c), m(a,b), m(b,c)) = M(a,b,c) を満たすとき、M をタイプ1不変性を満たすと定義する。
• すべての a, b > 0 に対して M(a,b,m(a,b)) = m(a,b) を満たすとき、M をタイプ2不変性を満たすと定義する。
• 二変数平均 m の厳密性および単調性の性質を用いて、タイプ1不変性を満たす対応する三変数平均 M の存在および一意性を証明する。
• 同様の推論を用いて、三変数平均 M が与えられたとき、タイプ2不変性を満たす m の存在および一意性を証明する。
• 対数平均 L(a,b) および L₃、レーマー平均などの特定の平均を用いて、不変性特性をテストする。
• 両方の不変性タイプにおける古典的平均の挙動を比較し、一方では成立するが他方では成立しないケースを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた二変数平均 m に対して、三変数平均 M がタイプ1不変性を満たすような一意な M が存在する条件は何か？
• RQ2 三変数平均 M が二変数平均 m に対してタイプ2不変性を満たすことは可能か？そのような場合、どのような条件下で一意性が保証されるか？
• RQ3 三変数対数平均 L₃ は、二変数対数平均 L(a,b) に対してタイプ1不変性を満たすか？
• RQ4 三変数対数平均 L₃ は、二変数対数平均 L(a,b) に対してタイプ2不変性を満たすか？
• RQ5 M が m に対してタイプ2不変性を満たすが、タイプ1不変性を満たさないような平均 m および M は存在するか？

主な発見

• 任意の厳密かつ単調な二変数平均 m に対して、m に対してタイプ1不変性を満たす唯一の三変数平均 M が存在する。
• 三変数対数平均 L₃ は、二変数対数平均 L(a,b) = (b−a)/(log b−log a) に対してタイプ1不変性を満たす。
• 三変数対数平均 L₃ は、二変数対数平均 L(a,b) に対してタイプ2不変性を満たさない。
• M が m に対してタイプ2不変性を満たすが、タイプ1不変性を満たさないような平均 m および M が存在する。これはレーマー平均によって実証された。
• 二変数および三変数における算術平均、幾何平均、調和平均は、両方のタイプ1およびタイプ2不変性特性を満たす。