[論文レビュー] Invariant measure for a three dimensional nonlinear wave equation

Nicolas Burq, Nikolay Tzvetkov|ArXiv.org|Jul 10, 2007

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、3次元の焦点外の超立方非線形波動方程式について、$ H^{1/2} $ より低い径数ソボレフ空間における低正則性のランダム初期データに対して、解のグローバル存在および一意性を確立する。ハミルトニアン近似フレームワークと、ウィーナー測度および発散なしベクトル場のリウヴィルの定理に基づく新規な不変測度構成を用いて、流れの下で有限な不変測度の存在を証明し、ポincareの定理により再帰性を可能にする。

ABSTRACT

We study the long time behavior of the subcritical (subcubic) defocussing nonlinear wave equation on the three dimensional ball, for random data of low regularity. We prove that for a large set of radial initial data in $\cap_{s<1/2} H^s(B(0,1))$ the equation is (globally in time) well posed and we construct an invariant measure.

研究の動機と目的

• 3次元単位球体上における焦点外の超立方非線形波動方程式について、低正則性のランダム初期データに対するグローバル適切性を確立すること。
• $ L^2 $-ノルム保存が成立しないにもかかわらず、波動方程式の流れの下で有限な不変測度の構成をすること。
• 非線形シュレーディンガー方程式に用いられた不変測度構成法を非線形波動方程式へと拡張し、$ L^2 $-保存の欠如を克服すること。
• 不変測度を用いてポincareの再帰定理により流れの再帰的性質を証明すること。

提案手法

• 径数固有関数 $ e_n(r) = \frac{\sqrt{2}\sin(\pi n r)}{r} $ を用いたスペクトル切断により、無限次元波動方程式を有限次元ハミルトニアンODEに近似する。
• 独立な標準ガウス確率変数 $ (h_n, l_n) $ を用いた確率的初期データの構成により、$ \cap_{s<1/2} H^s_{\text{rad}}(B(0,1)) $ 上にウィーナー測度を定義する。
• 3次元球体上における径数波動のストリコフ型不等式を用いて、$ \sigma \in \left(\max\left(0,\frac{\alpha-1}{\alpha}\right), \frac{1}{2}\right) $ に対して $ C([-T,T], H^\sigma_{\text{rad}}) $ における局所的適切性を証明する。
• 一様なバウンドとコンパクトネスを用いて近似ODEの極限に進み、$ C(\mathbb{R}, H^\sigma_{\text{rad}}) $ におけるグローバル解への収束を保証する。
• 発散なしベクトル場のリウヴィルの定理を有限次元近似に適用し、有限次元測度 $ \rho_N $ の極限として不変測度 $ \rho $ を構成する。
• 流れの均一連続性と近似下での測度収束を用いて、コンパクト集合 $ K $ に対して $ \rho(\Phi(\tau)(K)) \geq \rho(K) $ を示し、測度不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元の焦点外非線形波動方程式について、$ \cap_{s<1/2} H^s_{\text{rad}}(B(0,1)) $ に属する初期データに対してグローバル解を構成できるか？
• RQ2 $ L^2 $-ノルム保存が成立しない場合に、非線形波動方程式の流れに対して有限な不変測度が存在するか？
• RQ3 非線形シュレーディンガー方程式に用いられた不変測度構成法を、$ L^2 $-保存の欠如があるにもかかわらず非線形波動方程式に適応可能か？
• RQ4 ランダム初期データに対するほとんど確実なグローバル存在の正則性閾値は何か？
• RQ5 長時間にわたり流れは統計的にどのように振る舞い、不変測度からどのような再帰的性質が生じるか？

主な発見

• $ \alpha < 2 $ の場合、$ \cap_{s<1/2} H^s_{\text{rad}}(B(0,1)) $ 内のほとんどすべての径数初期データに対して、非線形波動方程式はグローバルに適切であり、$ \sigma \in \left(\max\left(0,\frac{\alpha-1}{\alpha}\right), \frac{1}{2}\right) $ に対して解は $ C(\mathbb{R}, H^\sigma_{\text{rad}}) $ に属する。
• 解は事前評価 $ \|u(t)\|_{H^\sigma_{\text{rad}}} \leq C(f_1,f_2) \log(2+|t|)^{1/2} $ を満たし、高ソボレフノルムにおける緩やかな成長を示す。
• ランダム初期データによって誘導されるウィーナー測度は不変ではないが、それを絶対連続的にする新たな測度 $ \rho $ が、グローバル流れの下で不変である。
• 不変測度 $ \rho $ は有限次元近似からの極限手続きにより構成され、近似ODEにおける発散なしベクトル場のリウヴィルの定理を用いてその不変性が証明される。
• 不変測度の存在は、$ L^2 $-保存が成立しないにもかかわらず、ポincareの再帰定理により流れの再帰性を示唆する。
• 本手法は $ L^2 $-ノルム保存に依存せず、$ L^2 $-ノルムが保存されない分散型PDEに対する不変測度構成の新しいアプローチを提供する。