[論文レビュー] Invariant Measures and Orbit Closures on Homogeneous Spaces for Actions of Subgroups Generated by Unipotent Elements

Nimish A. Shah|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、リー群の同次空間における単型元で生成される部分群へのラトナーの単型フローに関する定理を拡張する。有限 $W$-不変なエルゴード測度が同次的（閉 $H$-軌道上に台を持つ）であることを証明し、このような $W$-作用における軌道の閉包も同次的集合であることを示す。これは、ラトナーの結果を1パラメータ単型部分群を超えて、より広範な代数的構造へ一般化するものである。

ABSTRACT

The theorems of M. Ratner, describing the finite ergodic invariant measures and the orbit closures for unipotent flows on homogeneous spaces of Lie groups, are extended for actions of subgroups generated by unipotent elements. More precisely: Let G be a Lie group (not necessarily connected) and Gamma a closed subgroup of G. Let W be a subgroup of G such that Ad(W) is contained in the Zariski closure (in the group of automorphisms of the Lie algebra of G) of the subgroup generated by the unipotent elements of Ad(W). Then any finite ergodic invariant measure for the action of W on G/Gamma is a homogeneous measure (i.e., it is supported on a closed orbit of a subgroup preserving the measure). Moreover, if G/Gamma has finite volume (i.e., has a finite G-invariant measure), then the closure of any orbit of W on G/Gamma is a homogeneous set (i.e., a finite volume closed orbit of a subgroup containing W). Both the above results hold if W is replaced by any subgroup Lambda of W such that W/Lambda has finite volume.

研究の動機と目的

• 単型部分群ではなく、単型元で生成される部分群 $W$ に対するラトナーの単型フローに関する定理を一般化すること。
• マーガリスの予想、すなわち、このような部分群に対する有限不変測度および軌道の閉包が同次的であるという予想を解決すること。
• 有限体積の同次空間 $G/\Gamma$ 上の $W$-不変エルゴード測度が、$W \subset H$ を満たすより大きな部分群 $H$ の閉軌道上に台を持つことの確立。
• $G$ が連結でない場合でも、$W$-作用における軌道の閉包が、$W$ を含む部分群の有限体積の閉軌道であることを示すこと。
• $W/\Lambda$ が有限体積であるような部分群 $\Lambda \subset W$ への結果の拡張を図り、測度および軌道の閉包の同次性を保つこと。

提案手法

• アドジョイント表現 $\operatorname{Ad}_G$ を用いて $\operatorname{Ad}_G$-単型元および部分群を定義する。
• $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$ におけるザリスキ閉包を用いて、そのアドジョイント像が単型元で生成される部分群のザリスキ閉包に含まれるような部分群 $W$ を特徴付ける。
• 1パラメータ単型フローに関するラトナーの元々の定理を基礎的道具として用いる。
• スパニング技術の適用と、中心が自明でコンパクト因子をもたない半単純群への還元。
• ヘドルンドの補題を用いてエルゴード測度と軌道の閉包を結ぶ：$\overline{Wx} = \operatorname{supp}(\mu)$ $\mu$-a.e.
• ボレルの密度定理およびザリスキ密度に関する結果を用いて、商写像における軌道像の閉包性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W$ が $\operatorname{Ad}_G$-単型元で生成されるとき、$G/\Gamma$ 上の有限 $W$-不変 $W$-エルゴード測度は、必ず同次的であるか？
• RQ2 $G/\Gamma$ が有限体積の同次空間であるとき、$W$-軌道の閉包 $\overline{Wx}$ は、$W \subset H$ を満たすより大きな部分群 $H$ の閉軌道と一致するか？
• RQ3 $G/\Gamma$ が有限 $G$-不変測度を持つとき、すべての局所有限 $W$-不変エルゴード測度が有限であるという予想は成り立つか？
• RQ4 $W$ から $\Lambda \subset W$ に、$W/\Lambda$ が有限体積であるような部分群に結果を拡張できるか？
• RQ5 ザリスキ閉包が $H$ に含まれない単型元で生成される部分群ではないが、そのザリスキ閉包が単型元で生成されるような部分群 $H$ の軌道の閉包および不変測度の構造はいかなるものか？

主な発見

• 任意の有限 $W$-不変 $W$-エルゴード測度は、$W \subset H$ を満たす部分群 $H$ の閉軌道上に台を持ち、$H$-不変である。
• もし $G/\Gamma$ が有限 $G$-不変測度を持つならば、任意の $W$-軌道の閉包は、$W \subset F$ を満たす部分群 $F$ の有限体積の閉軌道である。
• 任意の $x \in G/\Gamma$ に対して、$\overline{Wx} = Fx$ を満たす閉部分群 $F \supset W$ が存在し、$F^0x$ は有限 $F^0$-不変測度をもつ。
• $W/\Lambda$ が有限体積であるとき、$W$ に対する結果は $\Lambda$ に拡張され、局所有限 $\Lambda$-不変エルゴード測度は有限である。
• 与えられた条件下で、すべての測度が有限であり、軌道の閉包が有限個の連結成分を持つという予想は同値である。
• 結果は、中心が自明でコンパクト因子をもたない半単純群のケースに還元され、この場合、高ランク群に対しては未解決のままであるが、後にエスキンとマーガリスにより予想1.2が証明された。