[論文レビュー] Invariant measures for Burgers equation with stochastic forcing

E Weinan, K. M. Khanin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2000

Stochastic processes and financial applications被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、時間空間ホワイトノイズによる駆動を受ける1次元バーガース方程式に対して、作用経路を最小化する変分原理に基づき、不変測度の存在および一意性を確立する。主な結果は「1つの力、1つの解」の原理である：ノイズのほとんどすべての実現について、一意な大域的解が存在し、それは不変測度を定義する定常マルコフ過程を形成する。

ABSTRACT

In this paper we study the following Burgers equation du/dt + d/dx (u^2/2) = epsilon d^2u/dx^2 + f(x,t) where f(x,t)=dF/dx(x,t) is a random forcing function, which is periodic in x and white noise in t. We prove the existence and uniqueness of an invariant measure by establishing a ``one force, one solution'' principle, namely that for almost every realization of the force, there is a unique distinguished solution that exists for the time interval (-infty, +infty) and this solution attracts all other solutions with the same forcing. This is done by studying the so-called one-sided minimizers. We also give a detailed description of the structure and regularity properties for the stationary solutions. In particular, we prove, under some non-degeneracy conditions on the forcing, that almost surely there is a unique main shock and a unique global minimizer for the stationary solutions. Furthermore the global minimizer is a hyperbolic trajectory of the underlying system of characteristics.

研究の動機と目的

• 零粘性（ε = 0）の確率的バーガース方程式に対する不変測度の存在および一意性を確立すること。
• 不変測度に支持される解の構造および正則性を分析すること。
• 「1つの力、1つの解」の原理を証明すること：ノイズ実現のほとんどすべてについて、一意な大域的解が存在すること。
• 不変測度が、この決定的選択規則のもとでの時刻0における解の分布として生じることを示すこと。
• フレームワークを適応させることで、非ゼロ平均初期条件への拡張を図ること。

提案手法

• リプシッツ曲線の上での確率的作用関数の最小化によるエントロピー許容弱解の変分的特徴付けを用いる。
• コンパクトな摂動の下で作用を最小化する曲線として、(−∞, t] 上の片側最小化子を定義し、それらを大域的解と関連付ける。
• シフト作用素θτと解写像Sτωを用いて、決定的選択写像Φ(ω) = uωを定義し、Φ(θτω) = SτωΦ(ω) を満たすようにする。
• 不変測度を写像Φ₀(ω)(x) = uω(x, 0) による確率空間測度のプッシュフォワードとして構成する。
• 最小化子の構造およびショック形成の分析に、アブリ・メイザー理論および円周上の測地線理論の道具を適用する。
• パスワイズ推定および確率積分（伊藤積分）を用いて、ラグランジュ的軌道およびショック位置の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間空間ホワイトノイズによる駆動を受ける非粘性バーガース方程式に対して、不変測度は存在するか？
• RQ2 粘性が存在しないにもかかわらず、ノイズ実現ごとに解を一意に選択することは可能か？
• RQ3 解におけるショック波および不連続性は、エネルギー散逸および定常性にどのように寄与するか？
• RQ4 不変測度に支持される解の幾何学的および力学的構造は何か？
• RQ5 「1つの力、1つの解」の原理は、方程式の変分構造からどのように導かれるか？

主な発見

• 非粘性バーガース方程式に空間時間ホワイトノイズによる外力が作用する場合、不変測度が存在し、かつ一意である。
• 不変測度は決定的選択規則から生じる：ノイズ経路ωのほとんどすべてについて、一意な大域的解uωが存在する。
• 解写像Φ(ω) = uωは、Φ(θτω) = SτωΦ(ω) を満たす intertwining 性質を満たし、定常性を保証する。
• 解は、点xで終わる経路における最小作用の微分として特徴付けられ、エントロピー条件は作用最小化によって強制される。
• 初期条件およびノイズ振幅を調整することで、ショック位置を1/2に正の確率で任意に近づけることができる。
• 不変測度の台は不連続性（ショック）を持つ関数から構成され、解の構造はエントロピー条件を満たす弱解としての意味で正則である。