[論文レビュー] Invariant measures for stochastic functional differential equations with superlinear drift term

Abdelhadi Es–Sarhir, Onno van Gaans+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非線形項が超線形で、任意のリプシッツ連続な拡散係数をもつ確率的関数微分方程式（SFDE）に対して、断片過程の収束性とFeller性を示すことにより、不変測度の存在を確立する。リャプノフ関数、コルモゴロフの基準、単調性の議論を用いて、有界性や小規模性の仮定なしに、散逸性条件および非線形項の成長条件のもとで、断片過程が不変測度をもつことを示している。

ABSTRACT

We consider a stochastic functional differential equation with an arbitrary Lipschitz diffusion coefficient depending on the past. The drift part contains a term with superlinear growth and satisfying a dissipativity condition. We prove tightness and Feller property of the segment process to show existence of an invariant measure.

研究の動機と目的

• 超線形の非線形項と一般のリプシッツ連続な拡散係数をもつ確率的関数微分方程式（SFDE）に対して、不変測度の存在を確立すること。
• 従来の結果が拡散係数の有界性や小規模性を仮定していたのを克服し、安定化効果をもつ超線形の非線形項を導入すること。
• 無限次元空間 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ における断片過程の収束性を示すこと。これは、決定論的系ではコンパクト性が欠如しているため、非自明である。
• 断片過程のFeller性を示すことにより、不変測度の存在に適用可能なKrylov-Bogoliubov定理を適用可能にする。
• 拡散係数の有界性を緩和し、そのリプシッツ定数に対する制約を弱めるために、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 解の断片過程 $x_t(\theta) = x(t+\theta)$, $\theta \in [-r,0]$ を用いてSFDEを定式化し、Banach空間 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ における時間発展を考察する。
• リャプノフ関数を用いて断片過程の確率的有界性を確立し、無限次元状態空間においても収束性を保証する。
• 伊藤積分部のコルモゴロフの基準を適用し、標本パスの振動を制御することで、ノイズ成分の収束性を保証する。
• 非線形項の散逸性条件に基づく単調性の議論を用いて、断片過程のFeller性を証明する。
• 収束性とFeller性を組み合わせ、Krylov-Bogoliubov定理を適用して不変測度の存在を結論づける。
• 仮定 $\mathbf{(H_0)}$, $\mathbf{(H_1)}$, および $\mathbf{(H_2)}$ が、$h$ が退化している場合でも不変測度の存在を保証することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項が超線形で、任意のリプシッツ連続な拡散係数をもつ確率的関数微分方程式が、不変測度をもつための条件は何か？
• RQ2 決定論的フローのコンパクト性を仮定しない場合、無限次元空間 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ における断片過程の収束性はどのように確立できるか？
• RQ3 拡散係数が非有界または退化している場合、断片過程のFeller性はどのように証明できるか？
• RQ4 SFDEの不変測度の存在理論において、拡散係数のリプシッツ定数をどの程度緩和できるか？
• RQ5 非線形項の散逸性条件を弱めても、不変測度の存在は保たれるか？

主な発見

• 拡散係数の有界性や小規模性の仮定なしに、SFDEの解に付随する断片過程は、$C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ で収束性をもつ。
• 断片過程はFeller性を満たしており、これは単調性の議論と初期条件が収束するときの解の $L^4$ 収束に基づいて確立される。
• 仮定 $\mathbf{(H_0)}$, $\mathbf{(H_1)}$, および $\mathbf{(H_2)}$ の下で、Krylov-Bogoliubov定理により断片過程に不変測度が存在する。
• 拡散係数 $h$ が退化している場合でも、この存在結果は成り立つ。この場合、不変測度の一意性は保証されない。
• 散逸性条件 $\lim_{|v|\to\infty} \frac{\langle f(v),v\rangle}{|v|^2} = -\infty$ は、$\limsup_{|v|\to\infty} \frac{\langle f(v),v\rangle}{|v|^2} < -\lambda$ に弱められ、ここで $\lambda$ は $L$, $r$, および $h(0)$ に依存する十分大きな値である。
• この証明手法は頑健であり、超線形非線形項とリプシッツ連続係数をもつ一般のSFDEに適用可能であり、拡散係数が小さいか有界であることを仮定していた従来の結果を拡張する。