[論文レビュー] Invariant Measures for TASEP with a Slow Bond

Riddhipratim Basu, Sourav Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、原点に遅いバリアントを持つTASEPにおける不変測度に関するリグゲットの予想を厳密に確立し、系が原点から遠く離れた場所で異なる密度（右側で$\rho < 1/2$、左側で$\rho' > 1/2$）を持つ積測度に漸近的に近い不変測度に収束することを証明する。指数的重みを伴う最後到着確率過程を用いた幾何的アプローチにより、測地線の融合とピン留めを分析し、相関の減少と混合性を示し、微視的強度の遅いバリアントにもかかわらず長距離効果が生じることを確認する。

ABSTRACT

Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP) on $\mathbb{Z}$ is one of the classical exactly solvable models in the KPZ universality class. We study the "slow bond" model, where TASEP on $\mathbb{Z}$ is imputed with a slow bond at the origin. The slow bond increases the particle density immediately to its left and decreases the particle density immediately to its right. Whether or not this effect is detectable in the macroscopic current started from the step initial condition has attracted much interest over the years and this question was settled recently (Basu, Sidoravicius, Sly (2014)) by showing that the current is reduced even for arbitrarily small strength of the defect. Following non-rigorous physics arguments (Janowsky, Lebowitz (1992, 1994)) and some unpublished works by Bramson, a conjectural description of properties of invariant measures of TASEP with a slow bond at the origin was provided in Liggett's 1999 book. We establish Liggett's conjectures and in particular show that TASEP with a slow bond at the origin, started from step initial condition, converges in law to an invariant measure that is asymptotically close to product measures with different densities far away from the origin towards left and right. Our proof exploits the correspondence between TASEP and the last passage percolation on $\mathbb{Z}^2$ with exponential weights and uses the understanding of geometry of maximal paths in those models.

研究の動機と目的

• 原点に遅いバリアントを持つTASEPの不変測度の構造に関するリグゲットの予想を厳密に確認すること。
• ステップ初期条件から生じる不変測度が、原点の両側で異なる密度を持つ積測度に空間的に無限遠で漸近的に近いことの証明。
• 遅いバリアントが、任意に小さな欠陥強度であっても、巨視的測度において長距離相関を引き起こすことを示すこと。
• 最後到着確率過程からの幾何的技法を拡張し、遅いバリアントが存在する状況での測地線の挙動と相関の減少を分析すること。
• 過程が、空間的無限遠において元の積測度と漸近的に同値である不変測度に収束することを示すこと。

提案手法

• TASEPと指数的通過時間を持つ$\mathbb{Z}^2$上の有向最後到着確率過程（DLPP）との対応関係を利用する。
• DLPPモデルにおける測地線（最大路）の幾何学的性質を分析し、原点における遅いバリアントの影響を検討する。
• 遅いバリアントモデルにおける点対点測地線のピン留めに関する定量的推定を適用し、相関の減少と混合性を確立する。
• 測地線の融合結果（特に定理1.8）を用いて、遅いバリアントモデルと標準TASEPモデルの路を比較する。
• TASEPに遅いバリアントを導入した場合と密度$p$の定常TASEPとのカップリングを用い、全変動距離における占有測度の収束を示す。
• $(n+k,n)$から直線$y = -\frac{p}{1-p}x$への測地線の大規模漸近的解析を適用し、$n \gg k \gg 1$のとき、直線的挙動を示す一定勾配を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点に遅いバリアントを持つTASEPの不変測度は、空間的無限遠において左側で$\rho' > 1/2$、右側で$\rho < 1/2$の異なる密度を持つ積測度に収束するか？
• RQ2 微視的強度であっても、遅いバリアントの長距離効果が巨視的定常分布において厳密に確認できるか？
• RQ3 遅いバリアントを含む最後到着確率過程における測地線の挙動は、標準モデルとどのように異なるか？また、これにより粒子相関の減少にどのような含意があるか？
• RQ4 遅いバリアントを持つTASEPの極限不変測度は、$\pm\infty$において元の積測度と漸近的に同値か？
• RQ5 DLPPモデルにおける測地線のどの幾何的性質が、不変測度の存在と構造を保証するか？

主な発見

• 遅いバリアントを持つTASEPの不変測度は、法則収束の意味で、原点の右側で密度$\rho < 1/2$、左側で$\rho' > 1/2$の積測度に漸近的に近い測度に収束する。
• 任意に小さな欠陥強度であっても、遅いバリアントは巨視的電流の低下を引き起こし、[5]の結果を不変測度解析によって確認する。
• 原点から遠く離れた点から直線$y = -\frac{p}{1-p}x$への測地線は、対角線上に$O(1)$の時間しか滞在しないため、漸近的に直線的であり、遅いバリアントの影響に敏感でない。
• 測地線のピン留めと融合に関する定量的推定を用いて、相関の減少と混合性を確立し、極限不変測度の存在を保証する。
• 初期積測度$\text{Ber}(p)$に対する極限不変測度$\nu_p^*$は、$\pm\infty$において$\nu_p$と漸近的に同値であることが確認され、予想された構造が裏付けられる。
• カップリングの議論により、大時間における遅いバリアント付きTASEPの占有測度は、密度$p$の定常TASEPのものと全変動距離で近いことが示され、$\nu_p^*$への収束が示唆される。