[論文レビュー] Invariant measures for the 3D Navier-Stokes-Voigt equations and their Navier-Stokes limit

Fábio Ramos, Edriss S. Titi|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、3次元ナビエ＝ストークス＝ヴォイジュ（NSV）方程式に対して不変測度の存在を確立し、正則化パラメータ $\alpha \to 0$ の下で、これらの不変測度の部分列が3次元ナビエ＝ストークス方程式の強い定常統計解に収束することを証明している。NSVモデルは、ヴォイジュ型項 ($\alpha^2 \Delta \mathbf{v}$) を用いてナビエ＝ストークス方程式を正則化するが、このモデルは極限において乱流の主要な統計的性質を保持しており、直接的な乱流シミュレーションの数値安定な代理としての使用を裏付ける。

ABSTRACT

The Navier-Stokes-Voigt model of viscoelastic incompressible fluid has been recently proposed as a regularization of the three-dimensional Navier-Stokes equations for the purpose of direct numerical simulations. Besides the kinematic viscosity parameter, $ν>0$, this model possesses a regularizing parameter, $α> 0$, a given length scale parameter, so that $\frac{α^2}ν$ is the relaxation time of the viscoelastic fluid. In this work, we derive several statistical properties of the invariant measures associated with the solutions of the three-dimensional Navier-Stokes-Voigt equations. Moreover, we prove that, for fixed viscosity, $ν>0$, as the regularizing parameter $α$ tends to zero, there exists a subsequence of probability invariant measures converging, in a suitable sense, to a strong stationary statistical solution of the three-dimensional Navier-Stokes equations, which is a regularized version of the notion of stationary statistical solutions - a generalization of the concept of invariant measure introduced and investigated by Foias. This fact supports earlier numerical observations, and provides an additional evidence that, for small values of the regularization parameter $α$, the Navier-Stokes-Voigt model can indeed be considered as a model to study the statistical properties of the three-dimensional Navier-Stokes equations and turbulent flows via direct numerical simulations.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件またはスリップなし境界条件の下で、3次元ナビエ＝ストークス＝ヴォイジュ（NSV）方程式に対して不変測度の存在を確立すること。
• これらの不変測度の統計的性質を分析し、特に長時間挙動と正則化パrameter $\alpha \to 0$ における収束を調べること。
• NSVモデルが、粘性零極限において3次元ナビエ＝ストークス方程式の統計的挙動を正しく捉えられることを厳密に証明し、乱流の直接数値シミュレーションにおける応用を支援すること。

提案手法

• Sobolev空間 $H^1$ および $V$ における関数解析的手法を用いて、3次元NSV系の不変測度の形式的導出。
• $\alpha \to 0$ の極限における不変測度の極限を分析するための弱収束技法とファトゥの補題の応用。
• スペクトル射影およびエネルギー移動関数 $e_{\kappa'}(\mathbf{u})$ を用いて、波数帯間のエネルギー移動を特徴づける。
• 不変測度の台上で、運動エネルギーおよびエネルギー移動関数の汎関数の弱連続性と一様有界性の確立。
• 部分列抽出および弱収束の議論を用いて、モーメント（運動エネルギーおよびエネルギー移動）の収束の証明。
• フォアスの定常統計解の概念を変形し、ナビエ＝ストークス方程式の強い定常統計解を定義し、NSV測度の極限によってそれが正当化されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な境界条件の下で、3次元ナビエ＝ストークス＝ヴォイジュ方程式に対して不変測度は存在するか？
• RQ2 これらの不変測度は、エネルギー分布および構造関数の観点で、どのような統計的性質を示すか？
• RQ3 正則化パラメータ $\alpha \to 0$ の下で、NSVモデルは3次元ナビエ＝ストークス方程式の統計解に収束するか？
• RQ4 NSVモデルは、エネルギー移動や構造関数の減衰といった、乱流ナビエ＝ストークス流れの統計的特徴を再現できるか？
• RQ5 NSV不変測度の極限は、ナビエ＝ストークス方程式の強い定常統計解か？

主な発見

• 固定された粘性係数 $\nu > 0$ に対して、$\alpha \to 0$ の下で、不変測度 $\mu^{\alpha_n}$ の部分列が、$V$ 上のボレル確率測度 $\mu$ に弱収束する。
• 極限測度 $\mu$ は、3次元ナビエ＝ストークス方程式の強い定常統計解であり、このような解を定義する積分恒等式を満たす。
• 運動エネルギー $\int_V |\mathbf{u}|^2 d\mu^{\alpha_n}(\mathbf{u})$ は $n \to \infty$ の下で $\int_V |\mathbf{u}|^2 d\mu(\mathbf{u})$ に収束し、2階モーメントの収束が確認された。
• 波数帯 $\kappa'$ と $\kappa''$ 間のエネルギー移動の純率は収束する：$\lim_{n\to\infty} (\langle e_{\kappa'}(\mathbf{u}) \rangle^{\alpha_n} - \langle e_{\kappa''}(\mathbf{u}) \rangle^{\alpha_n}) = \int_V (e_{\kappa'}(\mathbf{u}) - e_{\kappa''}(\mathbf{u})) d\mu(\mathbf{u})$。
• 外力場が滑らか（例えば解析的）な場合、NSV系のグローバルアトラクタは解析関数から構成され、$\mu^{\alpha}$ に関する構造関数は尾部で指数的減衰を示す。
• 不変測度の収束は、NSVモデルが3次元ナビエ＝ストークス方程式の有効な統計的代理であることを裏付ける。特に、乱流の直接数値シミュレーションにおいて有効である。