[論文レビュー] Invariant Measures, Hausdorff Dimension and Dimension Drop of some Harmonic Measures on Galton-Watson Trees

Pierre Rousselin|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マーク付きガルトン＝ウォーソン木上の明示的不変測度を構成するための代数的条件を導入し、$λ$-バイアス付きおよびランダム長さのランダムウォークの調和測度のハウスドルフ次元の計算を可能にする。両ケースにおいて次元の低下現象を確立し、従来の結果が非構成的であった分野において、調和測度の次元に対する明示的公式を提示する。

ABSTRACT

We consider infinite Galton-Watson trees without leaves together with i.i.d.~random variables called marks on each of their vertices. We define a class of flow rules on marked Galton-Watson trees for which we are able, under some algebraic assumptions, to build explicit invariant measures. We apply this result, together with the ergodic theory on Galton-Watson trees developed in \\cite{LPP95}, to the computation of Hausdorff dimensions of harmonic measures in two cases. The first one is the harmonic measure of the (transient) $\\lambda$-biased random walk on Galton-Watson trees, for which the invariant measure and the dimension were not explicitly known. The second case is a model of random walk on a Galton-Watson trees with random lengths for which we compute the dimensions of the harmonic measure and show dimension drop phenomenon for the natural metric on the boundary and another metric that depends on the random lengths.

研究の動機と目的

• マーク付きガルトン＝ウォーソン木上のフロールールのクラスに対して、関数 $\phi$ に関する代数的条件の下で明示的不変測度を構成すること。
• ガルトン＝ウォーソン木上のエルゴディック理論を拡張し、調和測度のハウスドルフ次元を計算すること。
• 超臨界ガルトン＝ウォーソン木上の $λ$-バイアス付きランダムウォークにおける不変測度および次元の明示的公式の欠如を解消すること。
• ガルトン＝ウォーソン木上にランダムな辺長さを導入したモデルにおける次元の低下現象を分析すること。

提案手法

• 部分木上の正の関数 $\phi$ を用いて、ランダムレイの遷移確率を定める、マーク付きガルトン＝ウォーソン木上のフロールールを定義する。
• $\phi$ に関する十分な代数的条件を確立し、ガルトン＝ウォーソン法則に関して絶対連続な明示的不変測度の存在を保証する。
• [12] のエルゴディック理論を応用し、不変測度をランダムウォークの調和測度に関連付ける。
• フロールールによって誘導されるマーク付き木上のマルコフ連鎖を用いて、長期的挙動および次元的性質を分析する。
• 一様確率変数とコンダクタンス関数に関する対称性および確率的恒等式を活用し、期待値を計算する。
• トネリの定理と関数 $h(x,y,z) = \frac{xyz}{xy+yz+xz - x - y - z + 1}$ に関する関数的恒等式を用いて、次元公式の一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\phi$ に関する代数的条件の下で、マーク付きガルトン＝ウォーソン木上のフロールールに対して明示的不変測度を構成できるか？
• RQ2 超臨界ガルトン＝ウォーソン木上の $\lambda$-バイアス付きランダムウォークの調和測度のハウスドルフ次元は何か？また、次元の低下は発生するか？
• RQ3 辺長さをランダムに導入した場合、調和測度のハウスドルフ次元および次元の低下現象にどのような影響を与えるか？
• RQ4 ガルトン＝ウォーソン木上の $\lambda$-バイアス付きランダムウォークの不変測度は明示的に計算可能か？また、調和測度とどのように関係するか？
• RQ5 ランダム辺長さを含むモデルにおいて、同じ枠組みを用いて調和測度の次元を計算できるか？

主な発見

• 本稿は、関数 $\phi$ に関する指定された代数的条件の下で、マーク付きガルトン＝ウォーソン木上のフロールールのクラスに対して明示的不変測度を構成した。
• 超臨界ガルトン＝ウォーソン木上の $\lambda$-バイアス付きランダムウォークにおいて、調和測度のハウスドルフ次元を明示的に計算し、次元の低下現象を確認した。
• ランダム辺長さを含むモデルでは、自然な距離および長さ依存距離の両方において、調和測度が次元の低下を示した。
• 調和測度のハウスドルフ次元が全境界のそれよりも厳密に小さいことを示すことにより、次元の低下を定量的に特徴づけた。
• 一様確率変数とコンダクタンスの対称関数に関する確率的恒等式を用いて、導出された次元公式の一貫性を検証した。
• 従来の結果が非構成的であった分野、特に $\lambda \neq 1$ の場合において、次元を計算する一般枠組みを提供した。