[論文レビュー] Invariant Measures on Stationary Bratteli Diagrams

Sergey Bezuglyi, Jan Kwiatkowski+2 more|ArXiv.org|Dec 5, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非単純な定常ブラッタイリ図の経路空間におけるエルゴード的不変確率測度を完全に特徴付け、Perron-Frobenius理論を用いてその測度が接続行列の特徴的な成分と一対一に対応することを示している。主な結果は、行列のスペクトル的性質を用いて、非周期的かつ非最小な置換系における不変測度を明示的に計算するためのアルゴリズムを提供することである。

ABSTRACT

We study dynamical systems acting on the path space of a stationary (non-simple) Bratteli diagram. For such systems we explicitly describe all ergodic probability measures invariant with respect to the tail equivalence relation (or the Vershik map). These measures are completely described by the incidence matrix of the diagram. Since such diagrams correspond to substitution dynamical systems, this description gives an algorithm for finding invariant probability measures for aperiodic non-minimal substitution systems. Several corollaries of these results are obtained. In particular, we show that the invariant measures are not mixing and give a criterion for a complex number to be an eigenvalue for the Vershik map.

研究の動機と目的

• 非単純な定常ブラッタイリ図の経路空間における、すべてのエルゴード的確率測度が尾同値関係に対して不変であることを明示的に記述すること。
• エルゴード的不変確率測度と接続行列のスペクトル分解における特徴的な成分との間の対応関係を確立すること。
• 原始的（単純な）定常図に限らない不変測度理論を非単純な場合にまで拡張すること。
• 非周期的かつ非最小な置換力学系における不変測度を計算するためのアルゴリズム的手法を提供すること。
• ヴェルシク写像の固有値を特徴付け、弱混合性または純粋離散スペクトルとなる条件を特定すること。

提案手法

• 定常ブラッタイリ図の接続行列 $ F $ を用いて、転置行列 $ A = F^T $ を定義し、そのスペクトル的性質が不変測度を決定することを示す。
• 非負の固有ベクトルの解析にPerron-Frobenius理論を適用し、非可約成分とそのPF固有値に焦点を当てる。
• 行列 $ A $ のコアを $ \bigcap_{n=0}^\infty A^n(\mathbb{R}_+^N) $ と定義し、これは有限不変測度をパrameter化する。
• 非可約成分の非負固有ベクトルによって生成される極値線を用いて、エルゴード的不変確率測度を同定する。
• 「特徴的な成分」という概念を導入する——これは、すべての到達可能な成分よりも固有値が厳密に大きい成分であり、それがエルゴード的確率測度と一対一に対応することを示す。
• ヴェルシク写像と軌道同値性を用いて測度論的構造と力学的スペクトルを関連させ、Körneyiの整数上での指数和に関する結果を応用して固有値条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単純な定常ブラッタイリ図の経路空間における、すべてのエルゴード的不変確率測度をどのように明示的に分類できるか？
• RQ2 接続行列のスペクトル構造と不変測度の存在との間の正確な関係は何か？
• RQ3 非最小的かつ非周期的な構造を持つ置換力学系が、いつ一意的エルゴード的か、あるいはそうでないかの条件は何か？
• RQ4 このような系におけるヴェルシク写像がいつ弱混合的または純粋離散スペクトル的か？
• RQ5 複素数 $ \gamma = e^{2\pi i\theta} $ がヴェルシク写像の固有値として現れるのはいつか、そしてこれをどのようにアルゴリズム的に特定できるか？

主な発見

• 定常ブラッタイリ図の経路空間におけるエルゴード的不変確率測度は、接続行列の非可約分解における特徴的な成分と一対一に対応する。
• 有限不変測度は、転置接続行列 $ A = F^T $ のコアによってパラメータ化され、これは極値線が $ A $ の非負固有ベクトルによって生成される単体的錐である。
• 特徴的でない成分は、ある開集合上で有限であるエルゴード的 $ \sigma $-有限測度に対応し、これによりすべての不変測度が完全に分類される。
• 系は混合的ではなく、ヴェルシク写像のスペクトルが純粋離散的であるための必要十分条件は、すべての $ n $ に対して $ \theta \cdot \lambda^n \to 0 \mod \mathbb{Z} $ が成り立つことである。ここで $ \lambda $ はPF固有値である。
• 複素数 $ \gamma = e^{2\pi i\theta} $ がヴェルシク写像の固有値であるための必要十分条件は、$ n \to \infty $ のとき $ \theta \cdot h^{(n)} \to 0 \mod \mathbb{Z} $ となることである。ここで $ h^{(n)} $ は固有ベクトル成分から導かれる。
• 弱混合性は、成長率が無理数比を持つ複数の成分を含む固有ベクトル分解が存在する場合に成立する。例6.11では、固有値条件を満たすためには $ \theta $ が整数でなければならないことが示され、これは $ \gamma = 1 $ のみが許容されることを意味する。