[論文レビュー] Invariant measures on the circle and functional equations

Christopher Deninger|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正則関数における関数方程式、特にネバリンナクラスおよび一般化されたハーディー空間において、単位円周 $\mathbb{T}$ 上の $\varphi_N$-不変確率測度を研究する。非定数解 $f$ が関数方程式 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ を満たす場合、その解は特異なインナーファンクションの商であることが示され、複数の自己準同型 $\varphi_N$ における同時不変性は、解空間と有界 $\kappa_s$-変動をもつ前測度の間の新規な同型写像によって特徴づけられる。

ABSTRACT

It is well known that real measures on the circle are characterized by their Herglotz transform, an analytic function in the unit disc. Invariance of the measure under N-multiplication translates into a functional equation for the Herglotz transform. Using elements from the theory of Hardy spaces one gets a somewhat surprising condition for a sequence of complex numbers to be the Fourier coefficients of an N-invariant measure. Next, starting from any atomless measure on the circle we construct atomless premesures of bounded kappa-variation in the sense of Korenblum which are invariant under s given pairwise prime integers. The relevant function kappa is a generalized entropy function depending on s. The proof uses Korenblum's generalized Nevanlinna theory. Passing to "kappa-singular measures" and extending these to elements in a Grothendieck group of possibly unbounded measures on the circle, one obtains generalized invariant measures which are carried by "kappa-Carleson" sets. The range of this construction depends on interesting questions about cyclicty in growth algebras of analytic functions on the unit disc. We also describe some very formal relations with Witt vectors. For example the Artin-Hasse p-exponential "is" a p-invariant premeasure of bounded kappa_1 variation.

研究の動機と目的

• 単位円周 $\mathbb{T}$ 上の $\varphi_N$-不変確率測度を、正則関数における関数方程式を用いて特徴づける。
• ネバリンナクラス $\mathcal{N}$ における関数方程式 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ の解の構造を解明する。
• $N$ と $M$ が互いに素であるような複数の自己準同型 $\varphi_N$ と $\varphi_M$ における同時不変性を、そのような $N$ が生成するモノイドを用いて分析を拡張する。
• 解を有界 $\kappa_s$-変動をもつ一般化された前測度空間と関連づけ、特に $s=1$ の場合にその解析的対応物を $\Psi_{{\mathcal{S}}}$ および $\Phi_{{\mathcal{S}}}$ 写像を用いて特徴づける。
• 例えば $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ のような整関数が非測度的前測度のワイエルシュトラス変換として現れることを示し、その $p$-可積分性およびイドムポテンシーを証明する。

提案手法

• 本稿は、各測度 $\mu$ に対して正則関数 $f_\mu = \exp(-h_\mu)$ を $h_\mu(z) = \int_{\mathbb{T}} \frac{\zeta + z}{\zeta - z} d\mu(\zeta)$ により関連付けるヘルグロッツ変換 $h_\mu$ を用い、測度の不変性を関数方程式に結びつける。
• 測度 $\mu$ が $\varphi_N$-不変であることは、$f = f_\mu$ がネバリンナクラス $\mathcal{N}$ に属する関数として関数方程式 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ を満たすことと同値であることを確立する。
• 乗法的半群 $\mathcal{S}$ に属するすべての $N$ に対して関数方程式を満たす関数の空間 $H^0(\mathcal{S}, \mathcal{O}^1)$ を、$\Phi_{\mathcal{S}}(f)(z) = f(z)/f(z^N)$ および $\Psi_{\mathcal{S}}(\alpha)(z) = \prod_{\nu=0}^\infty \alpha(z^{N^\nu})$ で定義される、互いに逆の同型写像 $\Psi_{\mathcal{S}}$ と $\Phi_{\mathcal{S}}$ を用いて研究する。
• 成長推定式 $|g(z)| \leq a_g \exp(r_g \log^s(1 - |z|)^{-1})$ を満たす一般化された成長クラス $\mathcal{N}_s$ を導入し、$\Psi_{\mathcal{S}}(Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1)) \subset H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$ を示し、解析的成長と測度の特異性の関係を結ぶ。
• コルンブロームの理論を応用し、$\mathcal{N}^1_s$ の元を有界 $\kappa_s$-変動をもつ実前測度と同一視する。ここで $\kappa_s(x) = x \sum_{\nu=0}^s \frac{1}{\nu!} |\log x|^\nu$ であり、これにより $\varphi_N$-不変前測度の特徴づけがなされる。
• 関数 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ が非測度的前測度 $\mu$ のワイエルシュトラス変換 $w(\mu) = E_N$ として構成されることは中心的である。この証明では、$\mu$ がアトムをもたず、$N$-不変かつイドムポテンであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $N \geq 2$ に対して、ネバリンナクラス $\mathcal{N}$ に属する正則関数で、関数方程式 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ を満たすものはどれか。その構造はいかなるものか。
• RQ2 互いに素な整数 $N_1, \dots, N_s$ が生成する乗法的半群 $\mathcal{S}$ に対して、関数方程式の解空間はどのように特徴づけられるか。また、$\Psi_{\mathcal{S}}$ および $\Phi_{\mathcal{S}}$ 同型写像の役割は何か。
• RQ3 正則関数が $\mathcal{N}^1_s$ に属するときの成長と、関連する円周上の前測度の $\kappa_s$-変動との関係は何か。
• RQ4 関数 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ は前測度のワイエルシュトラス変換として実現可能か。その前測度の性質は何か。
• RQ5 円周 $\mathbb{T}$ 上に、$\varphi_N$-不変かつ $\mu * \mu = \mu$、$w(\mu) = E_N$ を満たす非測度的前測度 $\mu$ が存在するか。

主な発見

• 関数方程式 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ を満たす $\mathcal{N}$ に属する非ゼロ関数 $f$ は、すべて特異的インナーファンクションの商である。Blaschke積や $\mathcal{N}$ 内の外的関数は、定数関数でない限りこの方程式を満たせない。
• $\Psi_{\mathcal{S}}: Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1) \to H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$ は適切に定義されており、$\mathcal{N}^1_s$ は $|g(z)| \leq a_g \exp(r_g \log^s(1 - |z|)^{-1})$ という成長推定式によって定義される。
• $s=1$ の場合、クラス $\mathcal{N}^1_1$ は $(1 - |z|)^{-r}$ のオーダーの指数型関数に対応し、$\kappa_1(x) = x(1 + |\log x|)$ による有界 $\kappa_1$-変動をもつ前測度と同一視される。
• 関数 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ は $p$-可積分かつ円積 $\odot$ に関してイドムポテンである。これは、$\mu \in P^+_{\kappa_1}(\mathbb{T}) \cap P^-_{\kappa_1}(\mathbb{T})$、$N_*\mu = \mu$、$\mu * \mu = \mu$ を満たす唯一の前測度 $\mu$ に対して $w(\mu) = E_N$ として現れる。
• 前測度 $\mu$ はアトムをもち、$\varphi_N$-不変であり、符号付き測度ではない。そのヘルグロッツ変換は $h_\mu(z) = -2 \sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}$ であり、$f_\mu = \exp(-h_\mu) = \prod_{\nu=0}^\infty \exp(2z^{N^\nu})$ は $\mathcal{A}_1$ の単元ではあるが $\mathcal{N}$ には属さない。
• $\kappa_1$-特異測度 $\mu_s = \sigma_{f_\mu}$ は恒等的にゼロであり、関連する関数 $\sigma = \Phi_{\mathcal{S}}(\mu)$ が絶対連続であるため、$\mu$ が符号付き測度にはなり得ない。これは、測度としての特異性が要求されるのと矛盾する。