[論文レビュー] Invariant metrics on negatively pinched complete Kähler manifolds

Damin Wu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、2つの負の定数の間で有界な正則セクション曲率をもつ完備ケーラー多様体上で、完全なケーラー＝アインシュタイン計量の存在と一意性を確立する。特筆すべきは、$ t\omega - \text{Ric}(\omega) $ のケーラー類を含む新規な複素マランゲ＝アムペール方程式を用いて、ケーラー＝アインシュタイン、コバヤシ＝ルイダン、バーグマン、および背景ケーラー計量の間の一様同値性を証明し、グリーンとウーによる負にピンチされた多様体に関する2つの長年の予想を確認する。

ABSTRACT

We prove that a complete Kähler manifold with holomorphic curvature bounded between two negative constants admits a unique complete Kähler-Einstein metric. We also show this metric and the Kobayashi-Royden metric are both uniformly equivalent to the background Kähler metric. Furthermore, all three metrics are shown to be uniformly equivalent to the Bergman metric, if the complete Kähler manifold is simply-connected, with the sectional curvature bounded between two negative constants. In particular, we confirm two conjectures of R. E. Greene and H. Wu posted in 1979.

研究の動機と目的

• R. E. グリーンとH. ウー（1979年）が提起した、負にピンチされた完備ケーラー多様体上の不変計量の間の一様同値性に関する2つの予想を解決すること。
• 正則セクション曲率が2つの負の定数の間で有界な完備ケーラー多様体上で、完全なケーラー＝アインシュタイン計量の存在と一意性を確立すること。
• 適切な曲率の有界性のもとで、ケーラー＝アインシュタイン計量、コバヤシ＝ルイダン計量、バーグマン計量、および背景ケーラー計量の間の一様同値性を証明すること。
• 背景計量のリッチ曲率に仮定を課さない形で、非コンパクトケーラー＝アインシュタイン計量に関する先行結果を一般化すること。

提案手法

• 背景計量 $ \omega $ の代わりに $ t\omega - \text{Ric}(\omega) $ のケーラー類を含む新規な複素マランゲ＝アムペール型方程式を導入し、ケーラー＝アインシュタイン計量を構成する。
• 一般化された最大値原理を適用して、マランゲ＝アムペール方程式の解 $ u $ に対する事前推定を得る。これにより、$ u $、その微分、および計量成分の均一な有界性が保証される。
• 準有界幾何の技法を用いて、局所的な推定を多様体全体に拡張し、$ C^{k+2,\alpha} $ の正則性を確保する。これにより、陰関数定理の適用が可能になる。
• ケーラー＝アインシュタイン計量 $ \omega_{\text{KE}} $ が $ C^{-1}\omega \leq \omega_{\text{KE}} \leq C\omega $ を満たすことを証明することで、計量の均一同値性を確立する。ここで $ C $ は次元、$ \kappa_1 $、$ \kappa_2 $ のみに依存する定数である。
• 第二著者の一般化された最大値原理と曲率推定を活用し、スカラー曲率と計量テンソルのトレースを制御することで、曲率およびその微分の有界性を保証する。
• 陰関数定理とアスコリ＝アルツェラの定理を用いて、解集合の閉性を証明し、$ t = 0 $ における存在性を示す。これにより、ケーラー＝アインシュタイン計量に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則セクション曲率が2つの負の定数の間で有界な完全なケーラー多様体は、一意な完全なケーラー＝アインシュタイン計量をもつか？
• RQ2 このような曲率の有界性のもとで、コバヤシ＝ルイダン計量と背景ケーラー計量は一様同値か？
• RQ3 有界なセクション曲率をもつ単連結で完全なケーラー多様体上では、バーグマン計量は背景ケーラー計量と一様同値か？
• RQ4 背景計量のリッチ曲率に符号条件を課さずに、ケーラー＝アインシュタイン計量を構成することは可能か？
• RQ5 負の正則セクション曲率の有界性のもとで、すべての古典的不変計量（コバヤシ＝ルイダン、バーグマン、ケーラー＝アインシュタイン、および背景ケーラー）は一様同値のままであるか？

主な発見

• 正則セクション曲率が $ -\kappa_2 \leq H(\omega) \leq -\kappa_1 $ を満たす $ \kappa_1, \kappa_2 > 0 $ である完全なケーラー多様体は、リッチ曲率が $ -1 $ に等しい一意な完全なケーラー＝アインシュタイン計量 $ \omega_{\text{KE}} $ をもつ。
• ケーラー＝アインシュタイン計量 $ \omega_{\text{KE}} $ は背景ケーラー計量 $ \omega $ と一様同値であり、$ C^{-1}\omega \leq \omega_{\text{KE}} \leq C\omega $ を満たす。ここで $ C $ は次元、$ \kappa_1 $、$ \kappa_2 $ のみに依存する定数である。
• 計量 $ \omega_{\text{KE}} $ の曲率テンソルのすべての共変微分が $ M $ 上で一様に有界であり、その有界性は微分の順序、次元、$ \kappa_1 $、$ \kappa_2 $ のみに依存する。
• コバヤシ＝ルイダン計量 $ \mathfrak{K} $ は背景ケーラー計量 $ \omega $ と一様同値であり、すべての $ x \in M $、$ \xi \in T^{1,0}_xM $ に対して $ C^{-1}|\xi|_\omega \leq \mathfrak{K}(x,\xi) \leq C|\xi|_\omega $ を満たす。
• セクション曲率が2つの負の定数の間で有界な単連結で完全なケーラー多様体上では、バーグマン計量は背景ケーラー計量および他のすべての不変計量と一様同値である。
• 本稿は、グリーンとウー（1979年）の2つの予想を確認した：負の曲率の有界性のもとで、コバヤシ＝ルイダン計量とバーグマン計量が背景計量と一様同値である。