[論文レビュー] Invariant operators on manifolds with almost Hermitian symmetric structures, II. Normal Cartan connections

Andreas Čap, Jan Slovák+1 more|ArXiv.org|Mar 9, 1995

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、ねじれのない線形接続を許さないほぼヘルミート対称構造を持つ多様体上での正規カルタン接続の存在および一意性を確立する。著者たちは、下位の線形接続の曲率を用いた明示的な普遍的公式を構築することで、オキアイの結果をねじれのない場合に限らない範囲へ一般化し、このような幾何的構造における不変微分計算の体系的かつ一貫した手法を提供する。

ABSTRACT

In the first part of this series of papers we developed the invariant differentiation with respect to a Cartan connection, we described this procedure in the terms of the underlying principal connections, and we discussed applications of this theory to the construction of natural operators. In this part we will extend the results of \cite{Ochiai, 70} on the existence and the uniqueness of the so called normal Cartan connections on manifolds with almost Hermitian symmetric structures to first order structures which do not admit a torsion free linear connection. Moreover, for each of these structures we obtain explicit (universal) formulae for these canonical connections in the terms of the curvatures of the underlying linear connections.

研究の動機と目的

• ねじれのない線形接続を許さない1次構造へ、オキアイの正規カルタン接続に関する結果を拡張すること。
• 下位の線形接続の曲率を用いて、正規カルタン接続の明示的で普遍的な公式を構築すること。
• ねじれが調和的であるほぼラグランジュ的およびほぼスピンorial構造に対して、一意な正規カルタン接続の存在を確立すること。
• カルタン接続を用いて、ほぼヘルミート対称構造を持つ多様体における不変微分計算の体系的枠組みを提供すること。
• 延長および曲率変形を活用することで、局所的に平坦またはねじれのない場合に限らない不変作用素の理論を一般化すること。

提案手法

• B_0-構造の1次元延長を用いて、正規カルタン接続を有する主B-バンドルを構成する。
• シリーズの第1部で開発された不変微分の計算を応用し、正規カルタン接続の普遍的公式を導出する。
• テンソルΓによる曲率変形を用いて線形接続を補正し、誘導されるカルタン接続が正規性条件∂*κ̄₀ = 0を満たすようにする。
• 曲率成分のトレースおよび対称性の性質を用いて、調和的線形接続γのリッチ曲率を用いて変形テンソルΓの明示的公式を導出する。
• Lie代数の階化分解𝔤 = 𝔤₋₁ ⊕ 𝔤₀ ⊕ 𝔤₁を用いて構造群を定義し、曲率成分を分析する。
• 曲率に∂*-作用素を適用して正規性を強制し、導出されたΓ-公式によって解かれる方程式系を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれのない線形接続を許さないほぼヘルミート対称構造上に、一意な正規カルタン接続が存在するか？
• RQ2 下位の線形接続の曲率を用いて、正規カルタン接続の明示的で普遍的な公式を導出できるか？
• RQ3 曲率に基づく線形接続の変形によって、正規性条件∂*κ̄₀ = 0を達成できるか？
• RQ4 ねじれが調和的であるほぼラグランジュ的およびほぼスピンorial構造の正規カルタン接続の構造はいかなるものか？
• RQ5 1次元B₀-構造の延長が、一意な正規カルタン接続を許す正規B-構造をどのように導くのか？

主な発見

• 次元 > 2 の多様体上にねじれが調和的であるほぼラグランジュ的構造に対して、一意な正規カルタン接続ω = ṫγ - Γ ∘ θ₋₁ が存在する。ここでΓは調和的線形接続γのリッチ曲率によって定まる。
• ほぼラグランジュ的の場合の変形テンソルΓは、明示的にΓ₍ₚₚ₎₍ₖₗ₎ = \frac{1}{m(m+1)-2}(m\operatorname{Tr}(R)_{(pq)(kl)} + \operatorname{Tr}(R)_{(pk)(ql)} + \operatorname{Tr}(R)_{(pl)(qk)}) として与えられる。
• ほぼスピンorialの場合、一意な正規カルタン接続はω = ṫγ - Γ ∘ θ₋₁ で与えられ、Γ₍ₚᵠ₎₍ₖₗ₎ = \frac{1}{m(m-1)-2}(m\operatorname{Tr}(R)_{[pq][kl]} + \operatorname{Tr}(R)_{[pk][ql]} - \operatorname{Tr}(R)_{[pl][qk]}) である。
• この構成により、曲率成分∂*κ̄₀が全域的に消えることが保証され、カルタン接続の正規性条件を満たす。
• この方法は、局所的選択に依存せず、ねじれが調和的であるすべての構造に適用可能な、普遍的かつ曲率に基づく正規カルタン接続の公式を提供する。
• 著者たちは、ねじれのない仮定を排除することで、オキアイの研究を一般化し、正規カルタン接続の適用範囲をより広い幾何的構造のクラスへ拡張した。