[論文レビュー] Invariant Orders on Hermitian Lie Groups

Gabi Ben Simon, Tobias Hartnick|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ の普遍被覆群およびより一般にツール型のヘルミート Lie 群において、幾何的順序、Lie 半群順序、最大順序という3つの異なる双不変部分順序が等価であることを確立する。これらは包含関係を通じて一致しており、最大順序は移動数の準同型によって定義され、Lie 半群が最大であり、単一の連続関数によって定義可能であることを証明する。

ABSTRACT

We study three natural bi-invariant partial orders on a certain covering group of the automorphism group of a bounded symmetric domain of tube type; these orderings are defined using the geometry of the Shilov boundary, Lie semigroup theory and quasimorphisms respectively. Our main result shows that these orders are related by two inclusion relations. In the case of $SL_2(\R)$ we can show that they coincide.

研究の動機と目的

• 普遍被覆群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ およびより一般的なヘルミート Lie 群における、3つの自然な双不変部分順序の関係を調査すること。
• ヘルミート Lie 群の文脈において、幾何的順序、Lie 半群順序、最大順序が互いに異なるか、一致するかを特定すること。
• Lie 半群順序が、自己同型作用に関して不変な部分半群の中で最大であることを確立し、単一の連続関数によって定義可能であることを示すこと。
• マスロフの準同型を用いて、高ランクのヘルミート Lie 群への移動数の概念を一般化すること。
• 対称空間理論の共通枠組みを通じて、幾何的、Lie 理論的、準同型に基づく順序付けを統一すること。

提案手法

• 群が実直線上に作用する方法により幾何的順序を定義し、$\mathrm{PU}(1,1)$ が $S^1$ 上に誘導する境界作用を引き伸ばす。
• リー代数内に存在する唯一の $\mathrm{Ad}$-不変な鋭錐付き凸錐のペアを用い、正の錐を指数関数化することで順序半群を構成する。
• 移動数の準同型 $T(g) = \lim_{n\to\infty} \frac{g^n.x - x}{n}$ を用いて最大順序を定義し、これにより最大の自己同型作用に関して不変な部分半群 $G^{+}_{\max}$ が生成される。
• カネユキの因果構造を用いて包含関係 $G^{+}_{\mathrm{geom}} \subset G^{+}_{\max}$ および $G^{+}_{\mathrm{cont}} \subset G^{+}_{\mathrm{geom}}$ を確立する。
• 三重分解 $\mathfrak{g}(T_\Omega) = \mathfrak{g}_{-1} \oplus \mathfrak{g}_0 \oplus \mathfrak{g}_1$ とカーレイ変換を用い、同次空間 $\check{R} \cong H/P$ を特定し、因果構造と非負定値二次形式の錐を関連付ける。
• 商写像における正錐の逆像が局所的に位相的に生成された Lie 半群であることを示すことで、カネユキ順序の連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍被覆群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 上の幾何的順序、Lie 半群順序、最大順序は、互いに異なるか、等価であるか？
• RQ2 Lie 半群順序は、自己同型作用に関して不変な部分半群の中で最大と特徴づけられるか？
• RQ3 移動数の準同型 $T$ は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ の普遍被覆群において、最大の自己同型作用に関して不変な部分半群を生成するか？
• RQ4 高ランクのヘルミート Lie 群において、幾何的順序、連続的順序、最大順序の関係はいかなるものか？
• RQ5 ヘルミート Lie 群の普遍被覆群における幾何的順序は、単一の連続関数によって記述可能か？

主な発見

• 普遍被覆群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 上の幾何的順序、Lie 半群順序、最大順序は、命題 3.13 で示されるように一致する。
• Lie 半群 $G^+$ は $G$ における自己同型作用に関して不変な部分半群として最大であり、移動数 $T$ という単一の連続関数によって記述可能である。
• 準同型 $T$ により定義される最大順序 $G^{+}_{\max}$ は、幾何的順序および Lie 半群順序を両方 refine する。
• ヘルミート Lie 群の普遍被覆群における幾何的順序は、ラグランジュ・グラスマンニアンの普遍被覆群への作用によって誘導され、非負定値二次形式の錐に基づく正の性質を持つ。
• シロフ境界におけるカネユキの因果構造は、$\check{R} \cong H/P$ 上に連続な順序を誘導し、これは定義 4.2 の意味で連続である。
• $\check{R}$ 上の連続順序は、逆転を除いて一意に定まり、$x \preceq y \Leftrightarrow \exists g \in G^{+}_{\mathrm{cont}}: gx = y$ を満たす。これにより $G^{+}_{\mathrm{cont}} \subset G^{+}_{\mathrm{geom}}$ が従う。