[論文レビュー] Invariant Properties of Fatou Set, Julia Set and Escaping Set of Holomorphic Semigroup

Bishnu Hari Subedi, Ajaya Kumar Singh|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、整関数的半群力学におけるファトウ集合、ジュリア集合、そして逃げる集合の不変性を確立し、有限型の生成子をもつアーベルな超越的半群において、これらの集合がS-完全不変であることを証明する。古典的複素力学系を半群へと拡張し、アーベル的かつ有限型の条件下で、ジュリア集合と逃げる集合が半群のすべての要素において同一であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we prove that escaping set of transcendental semigroup is S-forward invariant. We also prove that if holomorphic semigroup is abelian, then Fatou set, Julia set and escaping set are S-completely invariant. We see certain cases and conditions that the holomorphic semigroup dynamics exhibits same dynamical behavior just like the classical complex dynamics. Frequently, we also examine certain amount of connection and contrast between classical complex dynamics and holomorphic semigroup dynamics.

研究の動機と目的

• 古典的複素力学系を、特に動的集合の不変性に注目して、正則半群へと拡張すること。
• ファトウ集合、ジュリア集合、逃げる集合が単一写像の力学と類似する振る舞いを示す条件を調査すること。
• アーベル半群においてジュリア集合と逃げる集合がS-完全不変となる条件を特定すること。
• 有限型および有界型の整関数が、動的不変性を保つ役割を明らかにすること。
• 古典的複素力学系と半群力学系を比較・対比し、特に集合の不変性および構造的同型性に関して考察すること。

提案手法

• 正則写像の有限合成について閉じた半群として正則半群を定義し、有理型半群と超越的半群を区別する。
• 主要な動的集合を導入する：ファトウ集合（正規性）、ジュリア集合（ファトウ集合の補集合）、逃げる集合（本質的特異点への反復的発散）。
• S-完全不変集合の概念を適用する：集合EがS-完全不変であるとは、すべてのf ∈ Sに対してf(E) ⊆ Eかつf⁻¹(E) ⊇ Eを満たすこと。
• 可換性と有限型条件を用いて不変性を分析し、共通する超越的関数の可換性に関するPoonおよびEremenko-Lyubichの結果を活用する。
• アーベル的半群において有限型の生成子をもつ場合、ジュリア集合と逃げる集合が半群のすべての要素において同一であることを証明する。
• 臨界値、漸近的値、特異値に関する補題を用いて、有限型関数の特徴づけとその動的挙動を定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越的半群Sの逃げる集合がS-前不変である条件は何か？
• RQ2 正則半群のファトウ集合、ジュリア集合、逃げる集合がS-完全不変である条件は何か？
• RQ3 アーベル的状況下で、半群の動的集合とその個々の生成子の動的集合の関係は何か？
• RQ4 有限型および有界型の整関数が、ジュリア集合および逃げる集合の不変性を保つ役割は何か？
• RQ5 アーベル的半群構造が、個々の写像の動的集合と全半群の動的集合との間の構造的同型性をどの程度保証するか？

主な発見

• 超越的半群Sの逃げる集合I(S)はS-前不変である。すなわち、すべてのf ∈ Sに対してf(I(S)) ⊆ I(S)が成り立つ。
• 有限型の生成子をもつアーベルな超越的半群において、ジュリア集合J(S)はS-完全不変であり、すべてのf ∈ Sに対してf(J(S)) ⊆ J(S)かつf⁻¹(J(S)) ⊇ J(S)を満たす。
• このようなアーベルな超越的半群において、すべてのf ∈ Sに対してJ(S) = J(f)が成り立つ。これは、ジュリア集合が生成子の選択に依存しないことを示している。
• 同様に、このような半群において、逃げる集合はすべてのf ∈ Sに対してI(S) = I(f)を満たす。これは、逃げる集合が半群全体で不変であることを示している。
• 証明は、有限型関数が合成について閉じており、有限型関数を交換することでジュリア集合および逃げる集合が保存されることに依拠している。
• これらの結果は、アーベル的および有限型の条件下で、単一写像の力学における古典的不変性の性質を半群力学へと拡張している。