[論文レビュー] Invariant pseudo Kaehler metrics in dimension four

Gabriela P. Ovando|ArXiv.org|Oct 8, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、対応するケーラー・リース代数を特定し、複素構造 $J$ とシンプレクティック形式 $ω$ の両方の構造を複素同型に関してパラメータ化することで、不変な擬ケーラー計量を許容する4次元単連結リーリング代数を分類する。4次元において、単模リーリング代数ではリッチ平坦な擬ケーラー計量が平坦計量と一致することを証明し、可換複素代数 $A$ に対してアフィンリーリング代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$ にリッチ平坦な擬ケーラー構造を構成する。特に ${\mathfrak{aff}}(\mathbb{C})$ のような明示例も含む。主な貢献は、4次元におけるこのような構造の完全な分類およびアインシュタイン的・リッチ平坦的ケースの同定である。

ABSTRACT

Four dimensional simply connected Lie groups admitting a pseudo Kähler metric are determined. The corresponding Lie algebras are modelized and the compatible pairs $(J,ω)$ are parametrized up to complex isomorphism (where $J$ is a complex structure and $ω$ is a symplectic structure). Such structure gives rise to a pseudo Riemannian metric $g$ for which $J$ is parallel. It is proved that most of these complex homogeneous spaces admit a pseudo Kähler Einstein metric. Ricci flat and flat metrics are determined. In particular Ricci flat unimodular Kähler Lie algebras are flat in dimension four. Other algebraic and geometric features are treated. A general construction of Ricci flat pseudo Kähler structures in higher dimensions on some affine Lie algebras is given. Walker and hypersymplectic metrics on Lie algebras are compared.

研究の動機と目的

• 4次元単連結リーリング群が不変な擬ケーラー計量を許容するすべてのものを分類すること。
• これらのリーリング代数上で、複素構造 $J$ とシンプレクティック形式 $ω$ の両立可能なペア $(J, \omega)$ を複素同型に関してパラメータ化すること。
• これらの構造の中で、アインシュタイン的またはリッチ平坦な擬ケーラー計量を生じるものを特定すること。
• ウォーカー計量やハイパーシンプレクティック計量を含む、幾何的・代数的性質の同定。
• 4次元以上のアフィンリーリング代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$ に一般化して、リッチ平坦な擬ケーラー構造を構築すること。

提案手法

• リーリング群上の左不変な擬ケーラー計量と、複素構造 $J$ と両立するシンプレクティック形式 $ω$ を持つケーラー・リーリング代数 $({\mathfrak{g}}, J, \omega)$ の間の対応関係を用いる。
• 4次元ケーラー・リーリング代数を、直交和を伴う短完全列と、$J$-不変部分空間を持つ短完全列の2種類のタイプにモデル化する。
• リーマン接続、曲率、リッチテンソルを明示的に計算して、幾何的性質を分析する。
• $\nabla J = 0$ および $g(x,y) = \omega(Jx, y)$ の条件を用いて、擬リーマン計量 $g$ を定義する。
• 可換複素代数 $A$ に対して、$A \oplus A$ と表されるアフィンリーリング代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$ の構造を用いて、新しいリッチ平坦な擬ケーラー計量を構成する。
• ウォーキング計量とハイパーシンプレクティック計量を、全的に自己双対な $J$-不変部分空間 $W$ が $g(W,W) = 0$ かつ $\nabla_y W \subset W$ を満たすか否かを分析することで比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの4次元単連結リーリング群が不変な擬ケーラー計量を許容するか？
• RQ2 4次元リーリング代数上の擬ケーラー計量がリッチ平坦またはアインシュタイン的であるための条件は何か？
• RQ3 リーリング代数上のウォーキング計量がハイパーシンプレクティック計量として生じる条件は何か？
• RQ4 アフィンリーリング代数を用いて、高次元においてリッチ平坦な擬ケーラー構造を構築できるか？
• RQ5 アーベルな複素構造と、リーリング代数上での両立可能なシンプレクティック形式の存在との関係は何か？

主な発見

• 4次元において、単模リーリング代数ではリッチ平坦な擬ケーラー計量が平坦計量と一致する。これは、この場合、リッチ平坦なケーラー・リーリング代数が平坦であることを示唆する。
• 4次元ケーラー・リーリング代数の11家族のうち、8つが、それらに両立可能な擬ケーラー計量の中でアインシュタイン代表を許容する。
• ${\mathfrak{aff}}(\mathbb{C})$ はリッチ平坦な擬ケーラー計量を許容し、この構造は平坦な擬ケーラー計量の変形として生じる。
• 4次元リーリング代数上のすべてのリッチ平坦な擬ケーラー計量は、同型を除いて $\mathbb{R} \times {\mathfrak{e}}(2)$ または ${\mathfrak{aff}}(\mathbb{C})$ から生じる。
• 可換複素代数 $A$ に対して、アフィンリーリング代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$ は中性のリッチ平坦ケーラー計量を許容し、4次元のケースを高次元に一般化する。
• リーリング代数上のウォーキング・ケーラー計量がハイパーシンプレクティック計量となるのは、$\mathfrak{g} = W \oplus J W$ となる全的に自己双対な部分空間 $W$ が存在する場合に限る。この条件は $({\mathfrak{aff}}(\mathbb{C}), J_2)$ では満たされないため、ハイパーシンプレクティックではない。