[論文レビュー] Invariant recurrence relations for CP^(N-1) models

P. P. Goldstein, A. M. Grundiand|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 44被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限作用を持つリーマン球面上の $\mathbb{C}P^{N-1}$ モデルに対して、非正規化座標の代わりにスケーリング不変な射影作用素を用いて不変な再帰関係を定式化する。$\mathfrak{su}(N)$ 内での射影作用素、波動関数、埋め込み関数に対する不変な生成・消滅作用素を導出し、メラモーフィック解における特異点が不変量に影響しないことを示し、与えられた条件下で全純不変量が消えることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we present invariant recurrence relations for the completely integrable CP^(N-1) Euclidean sigma model in two dimensions defined on the Riemann sphere S^2 when its action functional is finite. We determine the links between successive projection operators, wave functions of the linear spectral problem, and immersion functions of surfaces in the su(N) algebra together with outlines of the proofs. Our formulation preserves the conformal and scaling invariance of these quantities. Certain geometrical aspects of these relations are described. We also discuss the singularities of meromorphic solutions of the CP^(N-1) model and show that they do not affect the invariant quantities. We illustrate the construction procedure through the examples of the CP^2 and CP^3 models.

研究の動機と目的

• 非正規化座標の代わりにスケーリング不変な射影作用素を用いて $\mathbb{C}P^{N-1}$ モデルを完全にスケーリング不変な形で再定式化すること。
• $\mathfrak{su}(N)$ 代数における連続する射影作用素、波動関数、埋め込み関数を結ぶ不変再帰関係を導出すること。
• メラモーフィック解における特異点がモデルの不変幾何的量に影響しないことを示すこと。
• モデルが $S^2$ 上で有限作用で定義される場合、全純不変量 $J_k$ と $\bar{J}_k$ が消えることを証明すること。
• $\mathbb{C}P^2$ および $\mathbb{C}P^3$ モデルの明示的例を用いて構成を図示すること。

提案手法

• 複素スケーリングに対して不変な形でラグランジアン密度を定式化し、保存則として運動方程式を導出する。
• 微分のグラム・シュミット直交化を用いて導出された、射影作用素 $P_k$ に作用する不変な生成・消滅作用素 $\mathbf{\Pi}_\pm$ を導入する。
• 不変な $\mathbf{\Pi}_\pm$ 作用素を用いてスペクトル問題から波動関数 $\Phi_k$ を構成し、共形性およびスケーリング不変性を保証する。
• 一般化されたワイエルシュトラス公式 (GWFI) を用いて $\mathfrak{su}(N)$ 内の曲面の埋め込み関数 $X_k$ を表現し、直交射影作用素の構造から再帰関係を導出する。
• 射影作用素 $P_j$ の直交性とトレース恒等式を用いて、埋め込み式における低次の射影作用素を消去し、再帰関係 (43)–(45) を得る。
• $P_\pm^k f$ における直交性条件を用いて、全純不変量 $J_k$ と $\bar{J}_k$ の消滅を証明し、非退化な $P_k$ 成分によるものであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C}P^{N-1}$ モデルを、射影作用素を用いて完全にスケーリング不変な形で再定式化する方法は何か？
• RQ2 $\mathfrak{su}(N)$ 代数における連続する射影作用素、波動関数、埋め込み関数を結ぶ不変再帰関係は何か？
• RQ3 メラモーフィック解における特異点は、モデルの幾何的不変量に影響するか？
• RQ4 $\mathbb{C}P^{N-1}$ モデルにおいて、全純不変量 $J_k$ と $\bar{J}_k$ が消える条件は何か？
• RQ5 $\mathbb{C}P^2$ および $\mathbb{C}P^3$ モデルにおいて、生成・消滅作用素 $\mathbf{\Pi}_\pm$ は不変幾何的量にどのように作用するか？

主な発見

• 不変再帰関係は、有限作用を持つ $S^2$ 上の $\mathbb{C}P^{N-1}$ モデルの共形性およびスケーリング不変性を保つ。
• 生成・消滅作用素 $\mathbf{\Pi}_\pm$ は、微分の直交化を経て得られる射影作用素であり、それぞれ $P_{k-1}$ を $P_k$ に、$P_k$ を $P_{k-1}$ に写像する。
• 波動関数 $\Phi_k$ と埋め込み関数 $X_k$ は、スペクトル問題と GWFI からの再帰的構成により得られ、すべての関係が複素スケーリングに対して不変である。
• メラモーフィック解における特異点は、不変量に影響しない。再帰関係はその近傍でも正しく定義され、滑らかである。
• モデルが $S^2$ 上で有限作用で定義される場合、全純不変量 $J_k$ と $\bar{J}_k$ は、$P_k$ 成分の直交性および非退化性により、恒等的に消える。
• 埋め込み関数の再帰関係 (44) および (45) は、トレース恒等式と射影作用素の直交性を用いて低次の射影作用素を消去することで得られ、$P_k$ の関数として閉形式の式が得られる。