[論文レビュー] Invariant Relativistic Electrodynamics. Clifford Algebra Approach

Tomislav Ivezić|ArXiv.org|Jul 27, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、クライフォード代数を用いて電磁力学の相対論的に不変な定式化を提案し、観測者に依存する3次元ベクトル E と B を、フレームに依存しない1次元ベクトル E と B に置き換える。実数および複素数の多スカラー Ψ = E − e₅cB および Ψ = E − i cB を用いて不変な場の式を導入し、自由光子に対してディラックに類似した方程式を導出し、エネルギー・運動量・角運動量・ローレンツ力といった物理的量が幾何学的かつ観測者に依存しない形で定義されることを保証する。

ABSTRACT

In the usual Clifford algebra formulation of electrodynamics the Faraday bivector field F is decomposed into the observer dependent sum of a relative vector E and a relative bivector e_5 B by making a space-time split, which depends on the observer velocity. (E corresponds to the three-dimensional electric field vector, B corresponds to the three-dimensional magnetic field vector and e_5 is the (grade-4) pseudoscalar.) In this paper it is proved that the space-time split and the relative vectors are not relativistically correct, which means that the ordinary Maxwell equations with E and B and the field equations (FE) with F are not physically equivalent. Therefore we present the observer independent decomposition of F by using the 1-vectors of electric E and magnetic B fields. The equivalent, invariant, formulations of relativistic electrodynamics (independent of the reference frame and of the chosen coordinatization for that frame) which use F, E and B, the real multivector Psi = E - e_5 cB and the complex 1-vector Psi = E - icB are developed and presented here. The new observer independent FE are presented in formulations with E and B, with real and complex Psi. When the sources are absent the FE with real and complex Psi become Dirac like relativistic wave equations for the free photon. The expressions for the observer independent stress-energy vector T(v) (1-vector), energy density U (scalar), the Poynting vector S and the momentum density g (1-vectors), the angular momentum density M (bivector) and the Lorentz force K (1-vector) are directly derived from the FE. The local conservation laws are also directly derived from the FE and written in an invariant way.

研究の動機と目的

• ファラデーの反対称2次ベクトル F を観測者に依存する3次元ベクトル E と B に分解することは、相対論的に正しくないことを示すこと。
• 参照フレームや座標系に依存しない完全な不変な相対論的電磁力学の定式化を構築すること。
• エネルギー・運動量・角運動量・ローレンツ力といった主要な物理的量について、観測者に依存しない表現を導出すること。
• Ψ = E − e₅cB および Ψ = E − i cB の場の式が、第一量子化を必要とせずに自由光子に対してディラックに類似した波動方程式に帰着することを示すこと。
• 幾何学的かつ不変なクライフォード数に基づく、相対論的に正しい量子電磁力学の基礎を確立すること。

提案手法

• クライフォード代数を用いて、場の2次ベクトル F としてマクスウェル方程式を再定式化し、観測者に依存しない時空分割により1次元ベクトル E と B に分解する。
• 実数の多スカラー Ψ = E − e₅cB および複素数の1次元ベクトル Ψ = E − i cB を、電磁場の代替的な幾何学的表現として導入する。
• E と B、Ψ（実数および複素数）の場の式を導出し、それらが標準的な F に基づく定式化と同等であり、ローレンツ変換に対して明示的に不変であることを示す。
• 場の式から直接、エネルギー・運動量テンソル T(v)、エネルギー密度 U、ポインティングベクトル S、運動量密度 g、角運動量密度 M、ローレンツ力 K を導出する。
• 局所的保存則を不変かつ座標に依存しない形で確立し、平坦時空および曲がった時空の両方で有効である。
• 従来のゲージ依存の4次元ポテンシャル A を、ゲージ条件や成分ベースの定式化を避ける幾何学的かつ不変な1次元ベクトル E と B に置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファラデーの反対称2次ベクトル F を観測者に依存する3次元ベクトル E と B に分解することは、F を用いた相対論的場の式と物理的に同等であるか？
• RQ2 E と B を相対的なベクトルではなく、1次元ベクトルとして用いることで、完全に不変な相対論的電磁力学の定式化を構築できるか？
• RQ3 実数の多スカラー Ψ = E − e₅cB および複素数の1次元ベクトル Ψ = E − i cB の場の式は、第一量子化を必要とせずに自由光子に対してディラックに類似した方程式を導くか？
• RQ4 エネルギー、運動量、エネルギー・運動量テンソル、角運動量の表現が、場の式から導出された場合、ローレンツ変換に対して不変か？
• RQ5 ゲージ依存のポテンシャルではなく、幾何学的かつ不変なクライフォード数に基づいて、相対論的に正しい量子電磁力学を構築できるか？

主な発見

• 観測者に依存する E と B ベクトルに至る標準的な時空分割は、相対論的に正しくないため、3次元ベクトル形式のマクスウェル方程式と F を用いた定式化との物理的同等性が崩れる。
• 実数の多スカラー Ψ = E − e₅cB および複素数の1次元ベクトル Ψ = E − i cB の場の式は、F を用いた定式化と同等であり、ローレンツ変換に対して明示的に不変である。
• 源のない状態では、Ψ の場の式は、第一量子化や確率的解釈を必要とせず、自由光子のディラックに類似した相対論的波動方程式に帰着する。
• エネルギー・運動量テンソル T(v)、エネルギー密度 U、ポインティングベクトル S、運動量密度 g、角運動量密度 M、ローレンツ力 K といったすべての物理的量が、場の式から直接導出され、観測者に依存しない。
• 局所的保存則は場の式から直接導出され、不変かつ座標に依存しない形で記述されており、平坦時空および曲がった時空の両方で有効である。
• 提案された形式は、ミュオンの崩壊、マイケルソン・モーリー、ケネディ＝トールンダイク、アイves＝スティルウェル実験といった特殊相対性理論の主要な検証実験と整合しており、従来の手法とは異なり、それらを満たさない。