[論文レビュー] Invariant Set Theory and the Symbolism of Quantum Measurement

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

advanced mathematical theories参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、宇宙が状態空間内のフラクタル的不変集合 $I_U$ の上を発展する、決定論的で実在論的な量子力学の枠組み、不変集合理論を提案する。量子的性質は、数論的不可約性から生じる非可換性と、フラクタルパラメータ $N \to \infty$ の特異極限としての符号的表現によって、非局所性や後向き原因性を必要とせずに導出される。

ABSTRACT

Elements of a novel theory of quantum physics are developed, synthesising the role of symbolism in describing quantum measurement and in the topological representation of fractal invariant sets in nonlinear dynamical systems theory. In this synthesis, the universe $U$ is treated as an isolated deterministic dynamical system evolving precisely on a measure-zero fractal invariant subset $I_U$ of its state space. A non-classical approach to the physics of $U$ is developed by treating the geometry of $I_U$ as more primitive than dynamical evolution equations on $I_U$. A specific symbolic representation of $I_U$ is constructed which encodes quaternionic multiplication and from which the statistical properties of complex Hilbert Space vectors are emergent. The Hilbert Space itself arises as the singular limit of Invariant Set Theory as a fractal parameter $N ightarrow \infty$. Although the Hilbert Space of quantum theory is counterfactually complete, the measure-zero set $I_U$ is counterfactually incomplete, no matter how large is $N$. Such incompleteness allows reinterpretations of familiar quantum phenomena, consistent with realism and local causality. The non-computable nature of $I_U$ ensures that these reinterpretations are neither conspiratorial nor retrocausal and, through a homeomorphism with the ring of $2^N$-adic integers, are robust to noise and hence not fine tuned. The non-commutativity of Hilbert Space observables emerges from the symbolic representation of $I_U$ through the generic number-theoretic incommensurateness of $ϕ/π$ and $\cos ϕ$. Invariant Set Theory implies a much stronger synergy between cosmology and quantum physics than exists in contemporary theory, suggesting a novel approach to synthesising gravitational and quantum physics and providing new perspectives on the dark universe and information loss in black holes.

研究の動機と目的

• 非局所性や後向き原因性を回避する決定論的で実在論的な量子力学の代替理論を構築すること。
• 宇宙の状態空間を測度ゼロのフラクタル的不変集合として扱うことで、量子力学と宇宙論を統合すること。
• ヒルベルト空間と非可換観測量の起源を、$I_U$ 上の幾何学的・数論的構造から説明すること。
• $2^N$-進整数とのホメオモーティズムを用いることで、ノイズに対して頑健であり、微調整を回避すること。

提案手法

• 宇宙 $U$ を、状態空間内の測度ゼロのフラクタル的不変集合 $I_U$ 上を発展する決定論的力学系としてモデル化する。
• 数論的性質を用いて、クォータニオン乗算を符号的に表現する $I_U$ の構成を行う。
• フラクタルパラメータ $N \to \infty$ における $I_U$ の特異極限として、統計的量子状態の構造を導出し、ヒルベルト空間を得る。
• 符号的表現における $\phi/\pi$ と $\cos\phi$ の一般的不可約性を通じて、非可換性を確立する。
• $I_U$ と $2^N$-進整数環とのホメオモーティズムを用いて、ノイズに対して頑健であり、微調整を回避する。
• 力学的法則の根源的構造として $I_U$ の幾何学を扱い、動的方程式よりも優先する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタル幾何に基づく決定論的で実在論的な理論から、どのように量子力学を導出できるか？
• RQ2 確率論的でない幾何的枠組みにおいて、ヒルベルト空間構造の起源は何か？
• RQ3 観測量の非可換性は、公理としてではなく、数論的不可約性からどのように生じるか？
• RQ4 なぜ宇宙の状態空間は反事後的不完全性を示し、それが局所的因果的説明を可能にするのか？
• RQ5 測度ゼロの集合に基づく理論は、陰謀的要因や後向き原因性を回避しつつ、ノイズに対して頑健であるか？

主な発見

• ヒルベルト空間の構造は、フラクタルパラメータ $N \to \infty$ における不変集合理論の特異極限として導出される。
• 観測量の非可換性は、$I_U$ の符号的表現における $\phi/\pi$ と $\cos\phi$ の一般的不可約性に起因する。
• $I_U$ は反事後的不完全性を示し、$N$ がいかに大きくても、局所的因果的説明が可能である。
• ノイズに対して頑健であるのは、$2^N$-進整数環とのホメオモーティズムのおかげで、微調整を必要としない。
• 非局所性や後向き原因性を必要とせず、実在論と局所的因果関係を保持する。
• 符号的表現はクォータニオン乗算を符号的に表現し、複素ヒルベルト空間ベクトルの統計的性質がその上に出現する。