[論文レビュー] Invariant Subspaces for Operators in a General II_1-factor

Uffe Haagerup, Hanne Schultz|ArXiv.org|Nov 9, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意のボレル集合に対して、一般のII₁因子に関連する最大で閉じたT-超不変部分空間の存在を確立する。この部分空間は、制限された作用素のブラウン測度がその集合上に集中するように選ばれる。構成は自由確率論と擬ノルム空間上の積分に依拠しており、ブラウン測度がデルタ測度でないII₁因子内の作用素に対する超不変部分空間問題を解決する。

ABSTRACT

It is shown that to every operator T in a general von Neumann factor M of type II_1 and to every Borel set B in the complex plane, one can associate a largest, closed, T-invariant subspace, K = K_T(B), affiliated with M, such that the Brown measure of T|_K is concentrated on B. Moreover, K is T-hyperinvariant, and the Brown measure of (1-P_K)T|_(1-P_K)(H) is concentrated on C\B. In particular, if T has a Brown measure which is not concentrated on a singleton, then there exists a non-trivial, closed, T-hyperinvariant subspace. Furthermore, it is shown that for every T in M, the limit A=\lim_{n o\infty}[(T^n)* T^n]^{1/2n} exists in the strong operator topology and K_T(\bar{B(0,r)})=1_{[0,r]}(A), r>0.

研究の動機と目的

• 一般のII₁因子内の作用素に対して超不変部分空間問題を解くために、所望のブラウン測度の台を持つ関連部分空間を構成すること。
• 従来は埋め込み性の仮定のもとでのみ知られていた結果を、任意のII₁因子の一般ケースにまで拡張すること。
• 強い作用素位相の極限とスペクトル解析を用いて、II₁因子内の作用素に対するスペクトル部分空間の構成を確立すること。
• 非原子的ブラウン測度が非自明な超不変部分空間の存在を示すことにより、有限次元および埋め込み可能な場合の結果を一般化すること。

提案手法

• 作用素 $ (T - \lambda)\xi_n $ および $ \xi_n $ に対する逐次収束条件を用いて、閉じたT-超不変部分空間 $ E(T,r) $ と $ F(T,r) $ を定義する。
• 強い作用素位相の極限を用いて、スペクトル部分空間 $ \CK_T(\overline{B(0,r)}) $ を $ E(T,r) $ とし、$ \CK_T(\mathbb{C} \setminus B(0,r)) $ を $ F(T,r) $ とする。
• 極限 $ A = \lim_{n \to \infty} [(T^n)^* T^n]^{1/(2n)} $ が強い作用素位相で存在することを証明し、$ \CK_T(\overline{B(0,r)}) = 1_{[0,r]}(A) $ を通じてスペクトル射影と関連付ける。
• 自由確率論を用いてブラウン測度とそのスペクトル分布を分析し、特にフーグレデ＝カダソン行列式との関係を考察する。
• 擬ノルム空間上の積分におけるトゥルピン–ワエルブロエック法を適用し、作用素ノルムの推定と $ L^p $-型ノルムにおける収束を制御する。
• 作用素 $ T|_{\CK} $ のブラウン測度が $ B $ 上に集中すること、および $ P^\perp T P^\perp $ のブラウン測度が $ \mathbb{C} \setminus B $ 上に集中することを示し、最大限の支持制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のボレル集合 $ B \subseteq \mathbb{C} $ に対して、II₁因子に関連する最大で閉じたT-超不変部分空間 $ \CK_T(B) $ を構成できるか。そのとき、$ T|_{\CK_T(B)} $ のブラウン測度は $ B $ 上に集中するか。
• RQ2 作用素 $ T \in \mathcal{M} $ のブラウン測度が非原子的であるならば、一般のII₁因子内に非自明な超不変部分空間が存在するか。
• RQ3 埋め込み性の仮定なしに、II₁因子内の作用素に対するスペクトル部分空間の構成を埋め込み可能因子のクラスを超えて拡張できるか。
• RQ4 極限 $ A = \lim_{n \to \infty} [(T^n)^* T^n]^{1/(2n)} $ から得られるスペクトル射影 $ 1_{[0,r]}(A) $ とスペクトル部分空間 $ \CK_T(\overline{B(0,r)}) $ との関係は何か。
• RQ5 自由確率論と擬ノルム空間上の積分は、非可換作用素代数における不変部分空間の構成と解析において、果たす役割は何か。

主な発見

• 任意の作用素 $ T $ と任意のボレル集合 $ B \subseteq \mathbb{C} $ に対して、II₁因子 $ \mathcal{M} $ に関連する最大で閉じた $ T $-超不変部分空間 $ \CK_T(B) $ が存在し、$ T|_{\CK_T(B)} $ のブラウン測度は $ B $ 上に集中する。
• 部分空間 $ \CK_T(B) $ に射かれる射影 $ P $ に対し、$ P^\perp T P^\perp $ のブラウン測度は $ \mathbb{C} \setminus B $ 上に集中し、スペクトル支持が補完的であることが保証される。
• 射影 $ P = P_T(B) $ へのトレースは、$ T $ の $ B $ 上のブラウン測度に等しく、$ \tau(P) = \mu_T(B) $ が成り立つ。これは測度論的関係を明確に示す。
• 極限 $ A = \lim_{n \to \infty} [(T^n)^* T^n]^{1/(2n)} $ が強い作用素位相で存在し、$ \CK_T(\overline{B(0,r)}) = 1_{[0,r]}(A) $ が成り立つ。これはスペクトル半径型の特徴づけを提供する。
• 作用素 $ T \in \mathcal{M} $ のブラウン測度がデルタ測度でないならば、$ T $ は非自明な超不変部分空間をもつ。これはこの場合における超不変部分空間問題の解決である。
• 本構成は埋め込み性の仮定を必要とせず、すべてのII₁因子に対して有効である。これにより、従来の埋め込み性仮定が必要であった結果が一般化された。