[論文レビュー] Invariant theory for the elliptic normal quintic, II. The covering map

Tom Fisher|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、5次正規楕円曲線（elliptic normal quintic）の種数1の曲線からそのヤコビ楕円曲線への25次被覆写像を不変式論的に表現する公式を構築する。5×5の一次形式からなる反対称行列の Pfaffian から得られる不変式を用いて、被覆写像を実現する明示的な有理写像 (X/Z², Y/Z³) を構成し、数体上での評価に実用的なアルゴリズムを提供する。これにより算術幾何における明示的n降下計算が可能となる。

ABSTRACT

A genus one curve C of degree 5 is defined by the 4 x 4 Pfaffians of a 5 x 5 alternating matrix of linear forms on P^4. We prove a result characterising the covariants for these models in terms of their restrictions to the family of curves parametrised by the modular curve X(5). We then construct covariants describing the covering map of degree 25 from C to its Jacobian and give a practical algorithm for evaluating them.

研究の動機と目的

• 種数1の5次曲線からそのヤコビへの被覆写像に対して、明示的な不変式論的公式を提供すること。
• 既存の楕円正規5次曲線の不変式に関する研究を拡張し、被覆写像を含めた曲線の幾何的構造の不変式論的記述を完成させること。
• 数体上での被覆写像の実用的計算を可能とし、明示的n降下およびMordell-Weil群の計算を支援すること。
• モジュラー曲線 X(5) への制限を通じて不変式を特徴づけ、ヘイゼンベルク群作用と整合性を持つようにすること。

提案手法

• ℙ⁴ 上の一次形式からなる5×5反対称行列の Pfaffian として、種数1の5次曲線を表現する。
• SL(V)×SL(W) の作用下での不変式環において、Z, X, Y の各不変式をそれぞれ次数50, 110, 165 として同定し、GL(V)×GL(W)-軌道閉包の構造を用いる。
• E が Weierstrass方程式 y² = x³ - 27c₄x - 54c₆ を持つヤコビ曲線であるとき、有理写像 (x,y) = (X/Z², Y/Z³) を用いて被覆写像 π: C → E を構成する。
• 有理的ノードを持つ5次曲線への特殊化を用いて、関係式 Y² = X³ - 27c₄XZ⁴ - 54c₆Z⁶ における正規化定数を決定する。
• 先行研究のアルゴリズムを応用し、Z, X, Y の不変式を効率的に評価可能とし、計算代数システムへの実装を可能にする。
• Bézoutの定理を用いた折れ線数の数え上げにより、被覆写像の次数が25であることを確認し、ヘイゼンベルク群作用による商であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円正規5次曲線からそのヤコビへの25次被覆写像を、不変多項式の観点からどのように表現できるか？
• RQ2 種数1のモデルから線形形式の対称冪への写像を記述する不変式のモジュールの構造は何か？ また、被覆写像とどのように関係するか？
• RQ3 被覆写像を定義する不変式は、数体上でアルゴリズム的に計算可能か？ また、特異的モデルへの特殊化ではどのように振る舞うか？
• RQ4 従来、ヤコビの計算に用いられてきた不変式 c₄ と c₆ は、被覆写像の完全な記述にどのように拡張されるか？
• RQ5 ヘイゼンベルク群作用は被覆写像の特徴づけにおいて果たす役割は何か？ また、不変式にどのように符号化されるか？

主な発見

• 非特異な楕円正規5次曲線 C からそのヤコビ E への被覆写像は、(x,y) = (X/Z², Y/Z³) で与えられ、X, Y, Z はそれぞれ次数110, 165, 50 の不変式である。
• ヤコビ E は Weierstrass方程式 y² = x³ - 27c₄(φ)x - 54c₆(φ) を持ち、c₄ と c₆ はそれぞれ次数20と30の標準的不変式である。
• 被覆写像の次数は25であり、無限遠点上のファイバーにおける25個の折れ線を交線論により数えることで確認された。
• 不変式 X, Y, Z は線形形式の対称代数上の次数6の不変式モジュールの自由基底をなしており、写像が正しく定義され有理写像としての性質を保証する。
• X, Y, Z の計算アルゴリズムは実用的であり、Magma に実装されており、c₄ = 21288863488 と c₆ = 3106257241074688 を持つ ℚ 上の5次曲線に対して明示的な評価が行われた。
• 写像によりヤコビ上に canonical 高さ 164.907 の点が得られ、その点はランク1のMordell-Weil群を生成し、Mordell-Weil計算への有用性が裏付けられた。