[論文レビュー] Invariants and discriminant ideals of orthogonal complements in a quadratic space

Manabu Murata|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、数体 $F$ 上の二次形式 $(V, \varphi)$ における $Fh$ の直交補空間 $W = (Fh)^\perp$ の不変量を決定し、$W$ の判別イデアルと $\varphi(h, L)$ というイデアルの明確な関係を確立する。主な結果は、$[M/L \cap W]$ というイデアルが $\varphi(h, L)$、$\varphi$ と $\psi$ の判別イデアルと関係づけられる公式であり、$L \cap W$ が $W$ で最大であるための基準を提供する。

ABSTRACT

This paper studies two topics concerning on the orthogonal complement of one dimensional subspace with respect to a given quadratic form on a vector space over a number field. One is to determine the invariants for the isomorphism class of such a complement in the sense of Shimura. The other is to investigate an ideal of the base field, which may be viewed as a difference between the genus of maximal lattices and an integral lattice in the complement. We shall discuss about the class number of the genus of maximal lattices as an application.

研究の動機と目的

• 非退化な二次形式 $(V, \varphi)$ を持つ数体 $F$ 上の二次空間 $(V, \varphi)$ における $h$ の直交補空間 $W$ に対し、$(W, \varphi|_W)$ の不変量を決定すること。
• $M$ を $W$ における最大格子、$L$ を $V$ における最大格子とするとき、$F$ 上の分数イデアル $[M / L \cap W]$ を研究し、$\varphi(h, L)$ との関係を明らかにすること。
• $\varphi$ と $\psi$ の判別イデアルを用いて、$L \cap W$ が $W$ で最大である条件を確立すること。
• $V$ が偶数次元であり、$L \cap W$ が最大であるとき、$W$ における最大格子の類数を計算する応用を行うこと。
• $\varphi(h, L)[M / L \cap W] = 2^{-1} \varphi(b(q))$ を満たす普遍的なイデアル $\varphi(b(q))$ を導出すること。この $\varphi(b(q))$ は $h$ と $L$ の選択に依存せず、一意に定まる。

提案手法

• $(W, \psi)$ の不変量は、$(V, \varphi)$ の不変量と $\varphi(h, h) = q \neq 0$ の値に基づき、Shimura の分類（次元、判別体、特徴的クaternion代数、実場での符号型）を用いて計算される。
• $[M / L \cap W]$ は、$(W, \psi)$ の判別イデアル $[\widetilde{M}/M]$ に着目して分析され、これは $\{x \in W \mid 2\psi(x, M) \subset \mathfrak{g}\}$ として定義され、最大格子 $M$ の選択に依存しない。
• 重要な恒等式 $\varphi(b(q))^2 [\widetilde{M}/M] = 2q [\widetilde{L}/L]$ が導出され、ここで $\varphi(b(q))$ は $q = \varphi(h, h)$ のみに依存する $F$ 上の分数イデアルである。
• 本稿では、Shimura [2, Theorem 11.6] の類数公式を用い、$W$ における最大格子の類数と $[D(L \cap W) : H^{\bullet}_{\mathbf{A}} \cap D(L)]$ のインデックスとの関係を確立する。
• 各素点 $v$ において、偶数クリフォード代数と $A^+(V)_v$ 内の最大順序の構造を用いて局所計算を行う。特に $v = q$ において、$q = \varphi(h, h)$ の場合に注目する。
• 証明には、$\gamma \in O^\varphi(V)_q$ で $\det(\gamma) = -1$ かつ $\gamma \in H^{\bullet}_q \cap D(L)_q$ を満たす自己同型 $\gamma$ の構成が含まれ、$[D(L \cap W) : H^{\bullet}_{\mathbf{A}} \cap D(L)] = 2$ が示され、類数公式の成立が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交補空間 $(W, \psi)$ の不変量は、$(V, \varphi)$ の不変量と $q = \varphi(h, h)$ の値を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 $[M / L \cap W]$ と $\varphi(h, L)$ の間の明確な関係は何か？ また、$\varphi$ と $\psi$ の判別イデアルとどのように関係するか？
• RQ3 $L \cap W$ が $W$ で最大であるための条件は何か？ そして、判別イデアルを用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $V$ が偶数次元であるとき、$W$ における最大格子の類数は、$V$ における類数とどのように関係するか？
• RQ5 $\varphi(h, L)[M / L \cap W] = 2^{-1} \varphi(b(q))$ を満たす普遍的なイデアル $\varphi(b(q))$ は何か？ そして、$h$ と $L$ の選択に依存せずにどのように定まるか？

主な発見

• $(W, \psi)$ の不変量（次元、判別体、特徴的クaternion代数、実場での符号型）は、$(V, \varphi)$ の不変量と $q = \varphi(h, h)$ の値によって完全に決定され、定理1.1で述べられている。
• $F$ 上に普遍的な分数イデアル $\varphi(b(q))$ が存在し、$\varphi(h, L)[M / L \cap W] = 2^{-1} \varphi(b(q))$ を満たす。このイデアルは $h$ と $L$ の選択に依存せず、$\varphi(b(q))^2 [\widetilde{M}/M] = 2q [\widetilde{L}/L]$ を満たす。
• $L \cap W$ が $W$ で最大であるための必要十分条件は $\varphi(h, L) = 2^{-1} \varphi(b(q))$ であり、判別イデアルに基づく新たな最大性の基準が得られる。
• $[D(L \cap W) : H^{\bullet}_{\mathbf{A}} \cap D(L)] = 2$ が成り立ち、このことから、与えられた条件下で $W$ における最大格子の類数は $V$ と等しいことが結論づけられる。
• $V$ が偶数次元で $L \cap W$ が最大であるとき、[2, Theorem 11.6] の類数公式を用いて、$W$ における最大格子の類数が計算可能である。この際、インデックス $[D(L \cap W) : H^{\bullet}_{\mathbf{A}} \cap D(L)] = 2$ が利用される。
• $O^\varphi(V)_q$ に属する自己同型 $\gamma$ を $\det(\gamma) = -1$ かつ $\gamma \in H^{\bullet}_q \cap D(L)_q$ を満たすように構成することで、インデックス2の結果が裏付けられ、類数計算に不可欠な要因が得られる。