[論文レビュー] $δ$-Invariants, Inequalities of Submanifolds and Their Applications

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 139被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、古典的スカラー曲率およびリッチ曲率とは異なる、新たなリーマン幾何学的不変量である$\delta$-不変量を導入し、部分多様体の内在的幾何と外在的幾何の関係を規定する最適不等式を確立する。これらの不変量が、最小埋め込みにおける長年の障害を解消し、固有値の推定、理想埋め込みの分類、複素多様体、接触多様体、アインシュタイン多様体における部分多様体の解析に強力なツールを提供することを示している。

ABSTRACT

The famous Nash embedding theorem was aimed for in the hope that if Riemannian manifolds could be regarded as Riemannian submanifolds, this would then yield the opportunity to use extrinsic help. However, as late as 1985 (see \cite{G}) this hope had not been materialized. The main reason for this is due to the lack of controls of the extrinsic properties of the submanifolds by the known intrinsic invariants. In order to overcome such difficulties as well as to provide answers to an open question on minimal immersions, we introduced in the early 1990's new types of Riemannian invariants, known as the $δ$-invariants or the so-called Chen invariants, different in nature from the "classical" Ricci and scalar curvatures. At the same time we also able to establish general optimal relations between the new intrinsic invariants and the main extrinsic invariants for Riemannian submanifolds. Since then many results concerning these invariants, inequalities, related subjects, and their applications have been obtained by many geometers. The main purpose of this article is thus to provide an extensive and comprehensive survey of results over this very active field of research done during the last fifteen years. Several related inequalities and their applications are presented in this survey article as well.

研究の動機と目的

• 部分多様体理論において、古典的内在的不変量（例：リッチ曲率）では外在的不変量（例：平均曲率）を十分に制御できないという問題に対処すること。
• ナッシュの埋め込み定理の実用的幾何解析への応用における制限を克服するため、幾何的制約をよりよく反映する新たな内在的不変量を導入すること。
• ユークリッド空間への最小等長埋め込みのための必要条件に関するチェーンの未解決問題を、$\delta$-不変量の導入により解決すること。
• 既存の曲率不等式を統一的かつ一般化し、多様な幾何的設定において内在的および外在的不変量の間の最適関係を提供すること。
• 複素幾何、接触幾何、ラグランジュ幾何、アフィン微分幾何、一般相対性理論などにまで、曲率不変量の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 特定の断面曲率項を全スカラー曲率から差し引くことにより得られる、スカラー曲率に基づく不変量として$\delta$-不変量を定義し、部分多様体幾何に敏感な新たな内在的曲率不変量を導出する。
• $\delta$-不変量と外在的不変量（例：平均曲率$H$、スカラー曲率$\tau$、リッチ曲率）との間の一般的最適不等式を確立する。
• 不等式で等号が成立する「理想埋め込み」（$\delta$-不等式の等号を達成する部分多様体）を用いて、最適な幾何的構成を特徴付ける。
• $\delta$-不変量の枠組みを用いて、曲率の上限に基づく曲率バインドを介し、コンパクト部分多様体上のラプラシアンの固有値推定を導出する。
• 特殊な設定（CR部分多様体、ラグランジュ的およびスラング部分多様体、ワーパード積、リーマン的射影）に応用を拡張する。
• DDVV予想および関連不等式を用いて、法方向スカラー曲率と部分多様体の剛性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的曲率不変量よりも、部分多様体の外在的幾何をより効果的に制御できる新たな内在的不変量を定義できるか？
• RQ2 部分多様体幾何において、$\delta$-不変量と平均曲率その他の外在的不変量との間の最適不等式は何か？
• RQ3 $\delta$-不変量を用いて、複素空間形式における最小または完全実埋め込みを特徴づけられるか？
• RQ4 $\delta$-不変量の不等式は、コンパクト部分多様体上のラプラシアンのスペクトルにどのような影響を及えるか？
• RQ5 $\delta$-不変量は、アインシュタイン多様体、共形平坦多様体、接触多様体における部分多様体の剛性結果および分類定理をどのように強化するか？

主な発見

• $\delta$-不変量は、全スカラー曲率から特定の断面曲率項を差し引くことで得られる新たな内在的曲率不変量のクラスを提供し、これはスカラー曲率やリッチ曲率とは本質的に異なる。
• 平均曲率$H$などの外在的不変量と$\delta$-不変量との間で最適不等式が確立され、等号成立は「理想埋め込み」として知られる、埋め込み先空間の正規化スカラー曲率を最小化する幾何的構成を特徴付ける。
• 複素空間形式$\tilde{M}^n(4\epsilon)$内の純粋実部分多様体に対して、不等式$H^2 \geq \frac{2(n+2)}{n^2(n-1)}\tau - \frac{n+2}{n}\left[1 + \frac{3\|P\|^2}{n(n-1)}\right]\epsilon$が成り立ち、特定の幾何的条件下で等号が成立する。
• $\delta(2)$-不変量は、特に近似的にケーラーな$S^6$におけるラグランジュ的および$CR$-部分多様体の分類において特に効果的であることが示された。
• ワーパード積への応用により、ワーピング関数の成長見積もりが得られ、$\delta$-不変量の枠組みは部分多様体理論における新たな剛性結果を可能にした。
• 理論は、$\delta$-不変量から得られる曲率バインドを介して、コンパクト部分多様体上のラプラシアンの固有値を推定する体系的なアプローチを提供する。