[論文レビュー] Invariants of algebraic varieties over imperfect fields

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の特性における非完備体上の代数的多様体を体系的に研究するため、4つの不変量——正規化のない基本変換の容量、幾何的非正規性のフロベニウス長さ、幾何的非還元性のフロベニウス長さ、および厚化指数——を導入する。これらの不変量の基礎的性質を確立し、曲線における種数の変化公式を証明し、種数1の非滑らかで正則な曲線が有界であることを示し、特性に応じた明示的な幾何的埋め込みを与える。

ABSTRACT

We introduce four invariants of algebraic varieties over imperfect fields, each of which measures either geometric non-normality or geometric non-reducedness. The first objective of this article is to establish fundamental properties of these invariants. We then apply our results to curves over imperfect fields. In particular, we establish a genus change formula and prove the boundedness of non-smooth regular curves of genus one. We also compute our invariants for some explicit examples.

研究の動機と目的

• 非完備体上の代数的多様体における幾何的非正規性および非還元性を体系的に研究するためのフレームワークを構築すること。
• 正の特性における幾何的特異性を測る4つの新しい不変量を定義し、それらを分析すること。
• 不変量を曲線に応用し、特に種数1の非滑らかで正則な曲線の有界性を証明すること。
• 種数の変化公式を確立し、不変量による曲線の幾何的埋め込みを特徴付けること。
• 非完備体上での最小モデルプログラムにおける標準的除法の既存結果を精緻化すること。

提案手法

• 特異性を分析するための主要な技術的道具として、純粋非分離な基本変換（要素的拡張）を導入する。
• 4つの不変量 γ(X/k)、ℓ_F(X/k)、m_F(X/k)、ε(X/k) を定義し、それぞれ幾何的非正規性または非還元性の異なる側面を測定する。
• フロベニウス分解と基本変換の技法を用いて、不変量が体拡張の下での挙動を研究する。
• ウェイリ・除法と標準バンドルの理論を適用し、不変量を正規化上の線形同値性と基本変換の還元に関連付ける。
• スネーク補題とコhomオロジー的技法を用いて、曲線上の線分束の非常に正則性を証明する。
• 線分束の0-正則性の概念を用いて、制限写像の全射性を確立し、非常に正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非完備体上の代数的多様体における幾何的非正規性および非還元性は、どのように体系的に測定できるか？
• RQ2 不変量 γ(X/k)、ℓ_F(X/k)、m_F(X/k)、ε(X/k) 相互の関係は何か？
• RQ3 正の特性における非完備体上の曲線に対して、種数の変化公式を確立できるか？
• RQ4 非完備体上の非滑らかで正則な種数1の曲線は、その幾何的埋め込みに関して有界か？
• RQ5 種数1の曲線が非完備体上に存在するとき、P² または P³ への閉埋め込みを許容する条件は何か？

主な発見

• 不変量 γ(X/k)、ℓ_F(X/k)、m_F(X/k)、ε(X/k) はすべて非負整数であり、幾何的非正規性および非還元性を測定する。
• 幾何的正規性は γ(X/k) = 0 かつ ℓ_F(X/k) = 0 と同値であり、幾何的還元性は ε(X/k) = 0 かつ m_F(X/k) = 0 と同値である。
• 不等式 ℓ_F(X/k) ≤ γ(X/k) および m_F(X/k) ≤ ℓ_F(X/k) が成り立ち、[k:k^p] < ∞ のとき m_F(X/k) ≤ m_F(X/k)(log_p[k:k^p] − 1) が成り立つ。
• 正の特性 p > 0 の体 k 上の固有正規多様体 X に対して、K_Y + (p−1)∑C_i ∼ f^*K_X が成り立つ。ここで C_i は有効除法であり、γ(X/k) はこのような除法の数を数える。
• 非完備体上での非滑らかで正則な種数1の射影的曲線は有界である：p = 3 のとき、P² 内の三次曲線として埋め込まれる。p = 2 のとき、P³ 内の2つの二次曲面の完全交差として埋め込まれる。
• 特性 2 の体上での種数1の曲線は、k-有理点を持つときかつそのときに限り、P² 内の三次曲線と同型である。