[論文レビュー] Invariants of stable quasimaps with fields

Huai-Liang Chang, Mu-Lin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Kiem-Liのcosection局在化を用いて、$\mathbb{P}^n$ 内の滑らかな超曲面 $X$ への $\epsilon$-安定な準マップとP-場のモジュライ空間に対して仮想基本類を構成する。得られる仮想サイクルが、超曲面 $X$ への準マップのモジュライ空間における仮想サイクルと（符号を除いて）一致することを証明し、任意の次数の超曲面および任意の滑らかさのすべての生成数について、Chang-Liの数値的恒等式をサイクルレベルに一般化する。

ABSTRACT

For an arbitrary smooth hypersurface X in a projective space, we construct its LG moduli of quasimaps with P fields. Apply Kiem-Li's cosection localization we obtain a virtual fundamental class. We show the class coincides, up to sign, with that of moduli of quasimaps to X. This generalizes Chang-Li's numerical identity to the cycle level, and from Gromov Witten invariants to quasimap invariants.

研究の動機と目的

• Gromov-Witten不変量とLandau-Ginzburg不変量の間のChang-Liの数値的恒等式を、仮想サイクルのレベルにまで拡張すること。
• $\mathbb{P}^n$ 内の滑らかな超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ への $\epsilon$-安定な準マップとP-場のモジュライ空間に対して仮想基本類を構成すること。
• $X$ 上の準マップ不変量と $\mathbb{P}^n$ への場付き準マップ不変量との間のサイクルレベルの対応関係を確立すること。
• 五次超曲面に限らず、任意の滑らかな超曲面（次数 $m$）およびすべての生成数に一般化すること。
• 場理論的モジュライを用いて、準マップとGromov-Witten不変量の間の壁越えの幾何的実現を提供すること。

提案手法

• $\mathbb{P}^n$ への $\epsilon$-安定な準マップと $p \in \Gamma(L^{-m} \otimes \omega_C)$ の切断を持つモジュライスタック $\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(\mathbb{P}^n,d)^p$ を構成する。
• 超曲面 $X$ を定義する同次多項式 $q$ を用いて、このモジュライ空間上の障害層にcosection $\sigma$ を定義する。
• Kiem-Liのcosection局在化を適用し、特異点集合 $\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(X,d)$ 上に台を持つ仮想サイクル $[\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(\mathbb{P}^n,d)^p]^{\mathrm{vir}}$ を得る。
• 直接像コーン構成を用いて、準マップと場付き変形モジュライ空間の障害理論を関連付ける。
• 局所化されたGysin引き戻しと局所化されたチャーン類の技法を用いて、仮想サイクルの同型を確立する。
• コhomologicalおよび変形論的議論を用いて、$[\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(\mathbb{P}^n,d)^p]^{\mathrm{vir}} = (-1)^{md+1-g}[\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(X,d)]^{\mathrm{vir}}$ という基本的恒等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場付き準マップのモジュライ空間の仮想サイクルが、滑らかな超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ への準マップの仮想サイクルと一致するか？
• RQ2 Chang-Liの不変量間の数値的恒等式を、不変量のレベルから仮想サイクルのレベルにまで引き上げることは可能か？
• RQ3 cosection局在化法が、任意の滑らかな超曲面への場付き準マップに一貫した仮想基本類をもたらすか？
• RQ4 場付き変形と制限された準マップモジュライの仮想サイクルを結ぶ正確な符号因子は何か？
• RQ5 この構成を超曲面に限らず、$\mathbb{P}^n$ 内の完全交差へ拡張できるか？

主な発見

• 場付き準マップのモジュライ空間の仮想サイクルは、超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ への $\epsilon$-安定な準マップのモジュライ空間の仮想サイクルの $(-1)^{md+1-g}$ 倍に等しい。
• この結果は、Chang-Liの数値的恒等式を、任意の滑らかな超曲面（次数 $m$）に一般化し、仮想サイクルのレベルにまで拡張する。
• 五次3次元超曲面（$m=5$, $n=4$, $g=1$）に対して、仮想サイクル $[\overline{M}^\epsilon_{1,0}(X,d)]^{\mathrm{vir}}$ の次数が、P-場モジュライからの仮想サイクルの次数と一致し、$g=1$ のGromov-Witten不変量の代替的なLandau-Ginzburg的構成が得られる。
• この構成は、$\mathbb{P}^n$ 内の完全交差へ拡張可能であり、場付き変形モジュライ空間の仮想サイクルは、完全交差への準マップモジュライの仮想サイクルの $(-1)^{(\sum m_i)d + 1 - g}$ 倍に等しい。
• 符号因子 $(-1)^{md+1-g}$ は、線分束 $L^{igotimes m}$ のオイラー特性 $\chi(C, L^{igotimes m}) = md + 1 - g$ から生じる。
• 証明は、局所化されたGysin引き戻しと局所化されたチャーン類の公式に依拠しており、鍵となるステップは、cosectionの特異点集合が $X$ への準マップモジュライ空間に一致することの同定である。