[論文レビュー] Invariants topologiques des Espaces non commutatifs

Anthony Blanc|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

本学位論文は、複素数体上のdgカテゴリとして定義される非可換空間のための位相的K理論を、有限型複素数スキーム上のスペクトル層への位相的実現を用いて導入する。主な結果として、単位dgカテゴリの連結および非連結代数的K理論の位相的実現が、標準的な位相的K理論スペクトルを回復することを示し、周期的ホモロジーへのチーゲン写像がこの位相的K理論を通じて因数分解されることを示しており、非可換ホッジ理論の有理数的部品の候補を提供する。

ABSTRACT

In this thesis, we give a definition of topological K-theory of Kontsevich's noncommutative spaces (ie dg-categories) defined over the complex. The main motivation comes from noncommutative Hodge structures in the sense of Kontsevich--Katzarkov--Pantev on the periodic cyclic homology of smooth and proper dg-algebras. The essential ingredient in the definition is the topological realization functor from presheaves of spectra on the site of complex affine schemes to spectra. Topological K-theory is defined as the Bott inverted topological realization of nonconnective algebraic K-theory. Using a non-abelian generalization of Deligne's proper cohomological descent, we show that the topological realization of the preaheave given by nonconnective K-theory is the spectrum bu of connective topological K-theory. The other main result deals with the relation between topological K-theory of a dg-category T and the moduli stack of perfect modules over T^op. Moreover, topological K-theory can be endowed with a Chern character map to periodic cyclic homology which factorizes Cisinski--Tabuada Chern map. We give a comparison result for smooth schemes of finite type over the complex and for finite dimensional associative algebras.

研究の動機と目的

• 複素数体ℂ上のdgカテゴリとして解釈される非可換空間のための位相的K理論を定義すること。
• 代数的K理論や周期的ホモロジーといった代数的不変量を単純化する位相的不変量の探索を開始すること。
• チーゲン写像を通じて周期的ホモロジー上の非可換ホッジ構造の有理数的部品の候補を提供すること。
• 位相的実現、dgカテゴリ、非可換ホッジ理論を結びつける枠組みを確立すること。
• 滑らかな有限型スキームおよび有限次元結合的代数の主要な場合において、ラティス予想を証明すること。

提案手法

• 有限型複素数スキームのサイト上のスペクトル層への位相的実現関手を用いる。
• 完備dgモジュールのスタックに可換モノイド構造を備えた、連結半位相的K理論を位相的実現として定義する。
• 非連結代数的K理論を用いた位相的実現を通じて、負のK群への定義を拡張する。
• 非アーベル的かつホモトピー的設定へのデリーニの正則コhomological降下の一般化を適用し、滑らかなスキームへの制限を可能にする。
• 得られたスペクトルの局所化をボット要素の逆元で行い、位相的K理論を定義する。
• 滑らかなスキームへの制限の性質を用いて、連結および非連結実現の間の同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dgカテゴリとして与えられる非可換空間のための位相的K理論は、どのように定義可能か？
• RQ2 単位dgカテゴリの連結および非連結代数的K理論の位相的実現は、標準的な位相的K理論スペクトルをもたらすか？
• RQ3 代数的K理論から周期的ホモロジーへのチーゲン写像は、この新しい位相的K理論を通じて因数分解されるか？
• RQ4 ラティス予想（位相的K理論が非可換ホッジ構造の有理数的部品を捉えていると仮定するもの）は、複素数体上の滑らかな有限型スキームにおいて成り立つか？
• RQ5 ラティス予想は、有限次元結合的代数においても成り立つか？

主な発見

• 単位dgカテゴリの連結代数的K理論の位相的実現は、通常の位相的K理論スペクトルと同型である。
• 滑らかなスキームへの制限の性質を用いることで、非連結代数的K理論の位相的実現に対しても同様の同型が成り立つ。
• 代数的K理論から周期的ホモロジーへのチーゲン写像は、位相的K理論を通じて因数分解され、これが有理数的ホッジ理論の候補としての役割を果たすことを支持する。
• ラティス予想は、複素数体上の滑らかな有限型スキーム上の完備複体のdgカテゴリにおいて、真実であると証明された。
• ラティス予想は、有限次元結合的代数の状況でも確認された。
• ホモトピー的かつ非アーベル的設定におけるデリーニの正則コホモロジー的降下の一般化が確立され、主要な技術的結果の実現を可能にした。