[論文レビュー] Inventory Control for Spectrally Positive Levy Demand Processes

Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、スペクトラル正の Lévy ダンププロセスの在庫制御フレームワークを、Lévy プロセスのフラクチュエーション理論に由来するスケール関数を用いて開発する。 (s,S)-ポリシーの最適性を確立し、スケール関数を介して価値関数および最適パラメータを明示的に表現することで、CGMY やバリアンス・ガンマ過程など無限活性ジャンプを有するプロセスに対しても取り扱い可能な解法を可能にする。

ABSTRACT

A new approach to solve the continuous-time stochastic inventory problem using the fluctuation theory of Levy processes is developed. This approach involves the recent developments of the scale function that is capable of expressing many fluctuation identities of spectrally one-sided Levy processes. For the case with a fixed cost and a general spectrally positive Levy demand process, we show the optimality of an (s,S)-policy. The optimal policy and the value function are concisely expressed via the scale function. Numerical examples under a Levy process in the beta-family with jumps of infinite activity are provided to confirm the analytical results. Furthermore, the case with no fixed ordering costs is studied.

研究の動機と目的

• 現代の Lévy プロセスのフラクチュエーション理論と確率的在庫制御の間のギャップを埋めるために、在庫モデルにスケール関数を導入すること。
• 一般のスペクトラル正の Lévy ダンププロセスの下で、固定および比例的発注コストを伴う連続時間在庫問題を解くこと。
• 古典的な積分微分方程式法では取り扱いが困難な、無限活性ジャンプを有する Lévy プロセスに対しても (s,S)-ポリシーが最適であることを示すこと。
• スケール関数を用いて価値関数および最適ポリシーのパラメータを明示的かつ簡潔に表現することにより、複雑なプロセスに対しても数値計算を可能にする。
• ブラウン運動や複合ポアソン過程にとどまらず、無限変動および無限活性を有するプロセス（例：バリアンス・ガンマ、CGMY）を含む在庫制御モデルの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• スペクトラル片側 Lévy プロセスのスケール関数を用いて、到達時間、オーバーシュート、リゾルベント測度といったフラクチュエーション恒等式を表現する。
• スケール関数を応用して、(s,S)-ポリシー下での期待総割引コストを導出し、最適性の直接的検証を可能にする。
• スケール関数の性質から得られる既知の滑らか貼り合わせ条件および連続性条件を活用した、推測と検証の手法を採用する。
• Lévy プロセスのラプラス指数を用いてスケール関数を定義し、無限活性ジャンプを有するプロセスに対しても解析的に取り扱えるようにする。
• 有界収束定理および単調収束定理を適用して、検証プロセスにおける極限を正当化し、期待コストの有限性および収束性を保証する。
• 無限活性ジャンプを有する β-家族に属する Lévy プロセスを用いて、数値的妥当性を検証し、実用的妥当性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール関数フレームワークを用いて、一般のスペクトラル正の Lévy ダンププロセスを有する連続時間在庫制御問題を解くことができるか？
• RQ2 (s,S)-ポリシーは、無限活性ジャンプを有するスペクトラル正の Lévy ダンププロセスに対しても最適であるか？
• RQ3 スケール関数を用いて、基礎となる Lévy プロセスが無限変動を有する場合でも、価値関数および最適ポリシーのパラメータを明示的に表現できるか？
• RQ4 無限活性ジャンプを有するプロセスに対して、スケール関数に基づくアプローチは、古典的な積分微分方程式法と比較してどのように取り扱いやすくなるか？
• RQ5 状態空間を切断した場合および極限を取った場合に、(s,S)-ポリシー下での期待総コストの挙動はいかなるものか？

主な発見

• 固定および比例的発注コストを伴う連続時間在庫制御問題において、任意のスペクトラル正の Lévy ダンププロセスに対して (s,S)-ポリシーが最適である。
• 価値関数および最適ポリシーのパラメータは、スケール関数を用いて明示的に表現可能であり、積分微分方程式を解くことなく直接計算が可能である。
• スケール関数アプローチは、無限活性および無限変動に対してもロバストであり、バリアンス・ガンマおよび CGMY プロセスなどのプロセスに対しても取り扱い可能な解析を可能にする。
• 数値例は、無限活性を有する β-家族に属する Lévy プロセスを用いて、解析的結果の妥当性を確認し、収束性および安定性を示している。
• スケール関数フレームワークにより指数モーメント条件が保証されるため、重尾および無限活性ジャンプを有するプロセスに対しても、(s,S)-ポリシー下での期待総コストは適切に定義されかつ有限である。
• 推測と検証の手続きを用いて、スケール関数の既知の性質を活用することで、最適ポリシーの導出が直感的かつ容易に可能である。