[論文レビュー] Inverse and stability theorems for approximate representations of finite groups

W. T. Gowers, O. Hatami|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Functional Equations Stability Results参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限群上の行列値関数への一般化により、古典的なフーリエ解析的逆定理を非アーベル群へ拡張した、近似表現に関する逆定理と安定性定理を確立する。有界関数 f: G → Mn(C) が大きな U2 範囲を持つ場合、その関数は次元が n に定数倍の範囲にあるユニタリ表現と相関を持つことが示され、またシュターン p 範囲における近似表現（準準同型）は、一様に真の表現に近いことが保証される。近似表現の次元は n に近く、誤差は ε に線形的に依存する。

ABSTRACT

The $U^2$ norm gives a useful measure of quasirandomness for real- or complex-valued functions defined on finite (or, more generally, locally compact) groups. A simple Fourier-analytic argument yields an inverse theorem, which shows that a bounded function with a large $U^2$ norm defined on a finite Abelian group must correlate significantly with a character. In this paper we generalize this statement to functions that are defined on arbitrary finite groups and that take values in M$_n(\mathbb C)$. The conclusion now is that the function correlates with a representation -- though with the twist that the dimension of the representation is shown to be within a constant of $n$ rather than being exactly equal to $n$. There are easy examples that show that this weakening of the obvious conclusion is necessary. The proof is much less straightforward than it is in the case of scalar functions on Abelian groups. As an easy corollary, we prove a stability theorem for near representations. It states that if $G$ is a finite group and $f:G o$M$_n(\mathbb C)$ is a function that is close to a representation in the sense that $f(xy)-f(x)f(y)$ has a small Hilbert-Schmidt norm (also known as the Frobenius norm) for every $x,y\in G$, then there must be a representation $ρ$ such that $f(x)-ρ(x)$ has small Hilbert-Schmidt norm for every $x$. Again, the dimension of $ρ$ need not be exactly $n$, but it must be close to $n$. We also obtain stability theorems for other Schatten $p$-norms. A stability theorem of this kind was obtained for the operator norm by Grove, Karcher and Ruh in 1974 and in a more general form by Kazhdan in 1982. (For the operator norm, the dimension of the approximating representation is exactly $n$.)

研究の動機と目的

• アーベル群上のスカラー値関数に対する逆定理を、任意の有限群上の行列値関数へ拡張すること。
• シュターン p 範囲における近似ユニタリ表現の安定性結果を確立し、準準同型が一様に真の表現に近いことを示すこと。
• 特にヒルベルト＝シュミット空間と作用素範囲において、行列値近似を用いた有限群に対するウラムの安定性問題を解決すること。
• 元の関数のノルムと群構造に依存する近似表現の次元の正しい依存関係を特定すること。
• 表現論的道具を用いて、有限群上の古典的フーリエ解析を行列値関数へ一般化すること。

提案手法

• 公式 ∥f∥⁴_U2 = Ex,y,z,w tr(f(x)f(y)*f(z)f(w)*) を用いて、行列値関数への U2 範囲の一般化を行う。
• ρ が既約表現を走るとき、ˆf(ρ) = ∫_G f(x) ⊗ ρ(x) dµ(x) で定義される非アーベルフーリエ変換を用いる。
• 特異値とその積（例：f(x)f(y)*）との関係を、スペクトル主要化とリドスキーの定理を用いて関係づける。
• シュターン p 範囲を近似誤差の測定に用い、次元に依存しない境界を得るために正規化を行う。
• f がシュターン p 範囲で ε-近傍に準準同型であるならば、真の表現 ρ が存在し、任意の x に対して ∥f(x) − ρ(x)∥ が小さいことを証明する。
• ユニタリ拡大と特異値置換技術を用いて、f から近似表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル群上の U2 範囲に関する古典的逆定理を、非アーベル有限群上の行列値関数へ拡張できるか？
• RQ2 U2 範囲が大きい行列値関数と相関する表現の正しい次元は何か？
• RQ3 任意の有限群の近似ユニタリ表現は、シュターン p 範囲で一様に真のユニタリ表現に近いか？
• RQ4 近似表現の次元は、元の関数の行列サイズ n とどのように関係するか？
• RQ5 すべてのシュターン p 範囲（特に p = 2（ヒルベルト＝シュミット）と p = ∞（作用素範囲））において、安定性結果を一様に得られるか？

主な発見

• f: G → Mn(C) が ∥f∥∞ ≤ 1 かつ ∥f∥⁴_U2 ≥ cn を満たす場合、定数 c₁, c₂ が c のみに依存して、[c₁n, c₂n] の次元を持つユニタリ表現と相関する。
• 任意の ε > 0 に対して、f: G → U(H) がすべての x,y に対して ∥f(xy) − f(x)f(y)∥_HS ≤ ε√n を満たすならば、すべての x に対して ∥f(x) − ρ(x)∥_HS ≤ 13ε√n を満たす真の表現 ρ が存在する。
• 近似表現 ρ の次元は n に定数倍の範囲にあり、∥f(x) − ρ(x)∥_HS の境界は ε に線形的に依存する。
• p ∈ [1,2] の場合、安定性境界は ε に線形的に依存する。2 < p < ∞ の場合、境界は Cε²/ᵖ に劣化し、p → ∞ に伴い弱くなる。
• コンパクト群への一般化はハール測度とユニタリ双対 ˆG を用いて可能となり、U2 範囲と近似誤差の境界は同じままである。
• p > 2 の場合、摂動のトレースの実部の制御が不十分であるため、証明が破綻し、境界が ε²/ᵖ に制限される。