[論文レビュー] Inverse Boundary Value Problem by Partial data for the Neumann-to-Dirichlet-map in two dimensions

Oleg Imanuvilov, Günther Uhlmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の相対的開部分集合 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ における部分的ノイマンからディリクレへの写像から、2次元シュレーディンガー型ポテンシャル $ q \in W^{1}_{p}(\Omega) $、$ p>2 $ の復元の一意性を確立する。複素幾何学的オプティクス解と振動積分の漸近解析を用いて、$ \widetilde{\Gamma} $ におけるノイマンからディリクレへの写像が $ q $ を一意に特定することを証明し、より弱い正則性のポテンシャルや部分的データ設定への拡張を達成した。

ABSTRACT

For the two dimensional Schrödinger equation in a bounded domain, we prove uniqueness of determination of potentials in $W^1_p(Ω),\,\, p>2$ in the case where we apply all possible Neumann data supported on an arbitrarily non-empty open set $\widetildeΓ$ of the boundary and observe the corresponding Dirichlet data on $\widetildeΓ$. An immediate consequence is that one can uniquely determine a conductivity in $W^3_p(Ω)$ with $p>2$ by measuring the voltage on an open subset of the boundary corresponding to current supported in the same set.

研究の動機と目的

• 2次元シュレーディンガー方程式の逆境界値問題において、境界 $ \partial\Omega $ の部分集合 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ での部分的ノイマンデータしか入手できない場合のポテンシャル復元の一意性を確立すること。
• 従来の結果がより高い正則性を要するのに対し、$ W^{1}_{p}(\Omega) $ に属するポテンシャル $ q $ に対して、一意性結果を $ p>2 $ の範囲にまで拡張すること。
• $ \widetilde{\Gamma} $ におけるノイマンからディリクレへの写像が、同じ境界部分集合に制限されたデータであっても、ポテンシャル $ q $ を一意に特定できることを示すこと。
• 電気インピーダンストモグラフィ（EIT）における限られた電極測定を想定した理論的基盤を提供すること。これにより、最小限の正則性仮定のもとで一意性が保証されることを示す。

提案手法

• 特定の複素射撃方程式を満たす位相関数を有するシュレーディンガー方程式の複素幾何学的オプティクス（CGO）解の構成。
• パrameter $ \tau \to \infty $ における漸近展開を用いて、ポテンシャル $ q $ と CGO 解を含む振動積分を分析すること。
• 滑らかな関数による近似を用いて、低正則性ポテンシャルを扱うために停留位相法と部分積分を適用すること。
• ポテンシャル $ q $、CGO 解およびその摂動項を含む積分恒等式の導出により、$ L^2 $-直交性条件に帰着させること。
• $ \widetilde{\Gamma} $ における境界積分推定と振動項の減衰性質を用いて、漸近展開における低次の項を消去すること。
• 背理法による証明：$ \widetilde{\Gamma} $ で同じノイマンからディリクレへの写像を生成する二つのポテンシャル $ q_1 \neq q_2 $ が存在すると仮定し、$ q \equiv 0 $ を示すことにより一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の相対的開部分集合 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ に制限されたノイマンからディリクレへの写像から、$ q \in W^{1}_{p}(\Omega) $、$ p>2 $ のポテンシャルが一意に特定可能か。
• RQ2 $ C^2 $ よりも正則性が低いポテンシャル、特に $ W^{1}_{p} $ 現象で $ p>2 $ の場合に、一意性結果が成り立つか。
• RQ3 同じ境界部分集合 $ \widetilde{\Gamma} $ に制限された入力（ノイマンデータ）と出力（ディリクレデータ）のみを用いて、ポテンシャルを一意に復元可能か。
• RQ4 低正則性ポテンシャルを含む振動積分の漸近的挙動を制御し、逆問題における一意性を導くことは可能か。

主な発見

• $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ における任意の相対的開部分集合に対して、ノイマンからディリクレへの写像 $ N_{q,\widetilde{\Gamma}} $ が、$ p>2 $ を満たす $ W^{1}_{p}(\Omega) $ に属するポテンシャル $ q $ を一意に特定する。
• 証明により、$ \widetilde{\Gamma} $ で同じノイマンからディリクレへの写像を生成する二つのポテンシャル $ q_1 $ と $ q_2 $ が存在するならば、$ q_1 = q_2 $ が $ \Omega $ ほぼ everywhere で成り立つことが示された。
• 本手法により、電流注入（ノイマンデータ）と電圧測定（ディリクレデータ）がいずれも同じ境界部分集合に制限された部分的データからも、ポテンシャルの復元が可能である。
• この結果は、同じ部分的データ仮定のもとで、$ W^{3}_{p}(\Omega) $、$ p>2 $ に属する導電率に対する逆導電率問題における一意性を示唆する。
• ポテンシャル $ q $ を滑らかな関数で近似する手法と、振動積分の漸近解析を組み合わせることで、従来の結果より低い正則性クラスへの一意性結果の拡張が可能となった。
• 鍵となるステップは、積分 $ \int_{\Omega} q u_1 v \, dx $ の漸近展開における主要項が、$ q(\widetilde{x}) = 0 $ のみで消えることを示すことであり、これにより $ q \equiv 0 $ が導かれ、結果として一意性が得られる。