[論文レビュー] Inverse boundary value problem for linear Schrödinger equation in two dimensions

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$p>2$ に対して $L^p(\Omega)$ 内のポテンシャルを持つ2次元シュレーディンガー方程式の逆境界値問題における一意性を確立し、以前の正則性仮定を改善している。複素幾何学的オプティクス解と定常位相法を用いて、著者らはディリクレからノイマンへの写像がポテンシャルを一意に特定することを証明し、以前の証明におけるギャップを解消し、より正則性が低いポテンシャルへと結果を拡張している。

ABSTRACT

We relax the regularity condition on potentials of Schrödinger equations in the uniqueness results in \cite{EB} and \cite{IY2} for the inverse boundary value problem of determining a potential by Dirichlet-to-Neumann map.

研究の動機と目的

• 2次元シュレーディンガー方程式の逆境界値問題におけるポテンシャル $q$ の正則性仮定を改善すること。
• $W^{1}_{p}$ で $p>2$ であるという要件を $L^p(\Omega)$ で $p>2$ に緩和することで、全コーシー・データからポテンシャル $q$ の一意性を確立すること。
• 特にブフゲイムの[5]における議論に存在するギャップを是正し、一意性の証明を強化すること。
• 近年の導電率逆問題の進展に呼応して、より正則性が低いポテンシャルへも逆一意性の結果を適用可能にする。
• 複素解析と $L^p$ 空間における積分作用素のノルム推定を用いて、逆問題の厳密な基礎を構築すること。

提案手法

• 複素変数表現 $z = x_1 + i x_2$ を用いた複素幾何学的オプティクス解を採用し、積分作用素 $\partial_{\overline{z}}^{-1}$ および $\partial_z^{-1}$ を用いる。
• 指数関数的位相 $e^{\tau(\Phi - \overline{\Phi})}$ を含む作用素 $\widetilde{\mathcal{R}}_\tau$ および $\mathcal{R}_\tau$ を定義し、特定の漸近的性質を持つ解を構成する。
• $L^p \to L^\gamma$ および $L^p \to W^{1}_p$ 空間における $\partial_{\overline{z}}^{-1}, \partial_z^{-1}$ の有界性を用いて、解の正則性を制御する。
• 定常位相法を適用し、$q_{\epsilon}$ を含む振動積分を漸近展開する。具体的には、$\int q_{\epsilon} e^{\tau(\Phi - \overline{\Phi})} dx = \frac{2\pi q_{\epsilon}(y)}{\tau} + o(\frac{1}{\tau})$ を示す。
• エゴロフの定理と測度推定を用いて、ポテンシャルの差 $q - q_\epsilon$ を局所化し、誤差項の $L^2$ ノルムを制御する。
• $q \not\equiv 0$ を仮定することで矛盾を導き、漸近展開が $|q_{\epsilon}(y)|$ が下から有界であることを示し、$\tau \to \infty$ のとき誤差項の減少と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元シュレーディンガー方程式の逆境界値問題における一意性結果は、$p>2$ に対して $L^p(\Omega)$ 内のポテンシャルへ、以前の $W^{1}_p$ 仮定を超えて拡張可能か？
• RQ2 ポテンシャル $q \in L^p(\Omega)$、$p>2$ の下で、同じ境界条件のもとでディリクレからノイマンへの写像がポテンシャル $q$ を一意に特定するか？
• RQ3 ブフゲイムの[5]における主張（同様の結果を主張しているが、正当な根拠に欠ける）における証明のギャップは、複素解析と漸近解析を用いて埋め合わせ可能か？
• RQ4 ポテンシャル $q$ の正則性仮定が、2次元における逆問題の安定性と一意性にどのように影響するか？
• RQ5 複素幾何学的オプティクス法と定常位相法は、$C^k$ やソボレフ正則性を要件としない $L^p$ ポテンシャルに対しても、どの程度適応可能か？

主な発見

• 主な結果として、$p>2$ に対して $L^p(\Omega)$ 内の2つのポテンシャル $q_1, q_2$ について、全コーシー・データ $\mathcal{C}_{q_1} = \mathcal{C}_{q_2}$ が成り立つならば、$\Omega$ 内でほとんど everywhere に $q_1 = q_2$ であることが証明された。
• 著者らは、$L^p(\Omega)$ で $p>2$ の最小限の正則性仮定のもとで、ディリクレからノイマンへの写像からポテンシャルの一意性を確立し、以前の $W^{1}_p$ や $C^k$ 正則性を要件としていた結果を改善した。
• ブフゲイムの[5]における主張の欠陥を、定常位相法の正当化と $L^p$ に基づく作用素ノルムによる誤差項の制御によって是正した。
• 位相関数 $\Phi(z,y) = (z - y)^2$ を持つ複素幾何学的オプティクス解を構築することで、積分作用素 $\partial_{\overline{z}}^{-1}$ および $\partial_z^{-1}$ を用いて、漸近解析により $q$ を回復可能であることを示した。
• 作用素 $T_\tau = \partial_z^{-1}(e^{\tau(\Phi - \overline{\Phi})} \cdot)$ について、$\|T_\tau\|_{L^2 \to L^2} \leq C/\tau$ が成り立つことを示し、これは $q$ の近似における誤差が $\tau^{-1}$ のオーダーで減少することを意味する。
• 矛盾による証明により、$q \not\equiv 0$ を仮定すると、誤差項の $L^2$ ノルムが $\tau^{-1}$ よりも速く減少する一方で、主要項 $\frac{2\pi |q_{\epsilon}(y)|}{\tau}$ は下から有界であるため、$\tau \to \infty$ のとき矛盾が生じる。