[論文レビュー] Inverse diffusion problems with redundant internal information

François Monard, Guillaume Bal|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、楕円型方程式の解 uᵢ に対する内部測定 Hᵢⱼ(x) = σ²ᵃ(x)|∇uᵢ|² の形で与えられる冗長な内部測定値から、スカラー拡散係数 σ(x) を回復する2つの新しい再構成手法を提示する。最初の手法は、過剰決定系の常微分方程式を解くもので、2次元および3次元の既存結果を任意の次元およびほとんどすべての α ∈ ℝ に一般化する。2番目の手法は、特定の条件下で一意に解けることが示された線形楕円型方程式系を解くもので、フレームに基づく境界条件と整合性制約を用いて安定な再構成が可能である。

ABSTRACT

This paper concerns the reconstruction of a scalar diffusion coefficient $σ(x)$ from redundant functionals of the form $H_i(x)=σ^{2α}(x)| abla u_i|^2(x)$ where $α\in\Rm$ and $u_i$ is a solution of the elliptic problem $ abla\cdot σ abla u_i=0$ for $1\leq i\leq I$. The case $α=\frac12$ is used to model measurements obtained from modulating a domain of interest by ultrasound and finds applications in ultrasound modulated electrical impedance tomography (UMEIT) as well as ultrasound modulated optical tomography (UMOT). The case $α=1$ finds applications in Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography (MREIT). We present two explicit reconstruction procedures of $σ$ for appropriate choices of $I$ and of traces of $u_i$ at the boundary of a domain of interest. The first procedure involves the solution of an over-determined system of ordinary differential equations and generalizes to the multi-dimensional case and to (almost) arbitrary values of $α$ the results obtained in two and three dimensions in \cite{CFGK} and \cite{BBMT}, respectively, in the case $α=\frac12$. The second procedure consists of solving a system of linear elliptic equations, which we can prove admits a unique solution in specific situations.

研究の動機と目的

• 冗長な内部測定値から得られる拡散係数 σ(x) の安定再構成を、2次元および3次元から任意の空間次元およびほとんどすべての α ∈ ℝ に一般化すること。
• UMEIT、UMOT、MREIT、ImpACT などのハイブリッド画像診断技術をモデル化する内部関数形 Hᵢⱼ(x) = σ²ᵃ(x)∇uᵢ·∇uⱼ を活用する再構成フレームワークの構築。
• 各点における領域内での n 個のベクトル Sᵢ = σᵃ∇uᵢ がフレームをなすようにすることで、σ の再構成の一意性と安定性を確立すること。
• 冗長測定から生じる過剰決定系の整合性条件を分析・強制する方法の確立。
• 測定値 Hᵢⱼ から得られる係数に依存するが σ に依存しない uᵢ に対する新しい楕円型方程式系を提案し、Fredholm の補題の条件下でその一意解可能性を証明すること。

提案手法

• 元の逆問題を、σ を明示的に除去した Sᵢ = σᵃ∇uᵢ に関する方程式系に変換する。
• ∇uᵢ が回転なし（curl-free）であり、楕円型方程式 ∇·(σ∇uᵢ) = 0 を満たすことに着目し、Hᵢⱼ = Sᵢ·Sⱼ を含む非線形過剰決定系を導出する。
• Sᵢ が領域内の各点で ℝⁿ 内のフレームをなすように、uᵢ に対する境界条件を構築し、可逆性と安定性を保証する。
• 最初の手法では、フレーム条件と内部測定 Hᵢⱼ を用いて導出された過剰決定系の常微分方程式系を解き、2次元および3次元の既存結果を高次元に一般化する。
• 測定値 Hᵢⱼ のみに依存する係数を持つ uᵢ に関する線形楕円型方程式系を定式化し、Fredholm の補題を用いて一意解可能性を証明する。
• 微分幾何的制約（例：F = ∇logσ に対して dF^♭ = 0）を用いて、整合性条件を強制し、∑ₚ,ₚ Mₚₚⁱʲ : ∇uₚ ⊗ ∇uₚ = 0 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元から任意の空間次元 n ≥ 2 へ、冗長な内部測定値を用いた σ(x) の安定再構成を、ほとんどすべての α ∈ ℝ に対して一般化できるか？
• RQ2 境界データにどのような条件を課すと、各点で Sᵢ = σᵃ∇uᵢ が ℝⁿ 内のフレームをなし、σ の一意的再構成が可能になるか？
• RQ3 過剰決定系の常微分方程式および楕円型方程式系に対する整合性条件をどのように導出し、強制するか。これにより再構成の整合性および経路に依存しない性質が保証されるか？
• RQ4 uᵢ に対する提案された線形楕円型方程式系が、σ に依存せずに、どのような条件下で一意に解けるか？
• RQ5 測定関数形 Hᵢⱼ = σ²ᵃ|∇uᵢ|² を用いて、非冗長測定に依存しないで σ を再構成できるか。非冗長測定は既知の不安定性を示すことが知られている。

主な発見

• 最初の手法は、Sᵢ ベクトルがフレームをなす限り、任意の次元 n ≥ 2 およびほとんどすべての α ∈ ℝ に対して、σ の再構成についてグローバルな一意性と安定性を保証する。
• フレーム条件と内部測定 Hᵢⱼ を用いて導出された過剰決定系の常微分方程式系は解が存在し、σ の安定再構成を実現する。
• 2番目の手法では、測定値 Hᵢⱼ のみに依存する係数を持つ uᵢ に関する線形楕円型方程式系を構築し、(n, α) の離散的でない値の集合を除き、一意解可能性が保証される。
• 再構成の整合性条件は、F = ∇logσ が勾配であること、つまり ∑ₚ,ₚ Mₚₚⁱʲ : ∇uₚ ⊗ ∇uₚ = 0 を満たす必要があるという要件に符号化されている。
• 複素幾何的オシレーター（CGO）解の使用により、n ≥ 3 の次元ではフレームの不変性が保証され、適切な境界条件の構築が可能になる。
• 本フレームワークは、α = 1/2 および α = 1 の2次元および3次元の既存結果を一般化し、UMEIT、UMOT、ImpACT、MREIT 応用をカバーする。