[論文レビュー] Inverse formula for the Blaschke-Levy representation with applications to zonoids and sections of star bodies

Alexander Koldobsky|arXiv (Cornell University)|May 9, 1996

Point processes and geometric inequalities参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、球面上の与えられた偶関数 $ H $ から、Blaschke-Levy表現における密度関数 $ b $ を再構成する逆公式を確立する。この公式は $ H $ の微分を用いて構築され、$ b $ の計算可能な表現を提供する。その結果、$ L_p $ への等長埋め込み、ゾノイド構造、および $ 0 < p < 2 $ の $ \ell_p^n $-ノルム球の中心断面の体積に関する新しい結果が得られる。

ABSTRACT

We say that an even continuous function $H$ on the unit sphere $Ω$ in $R^n$ admits the Blaschke-Levy representation with $q&gt;0$ if there exists an even function $b\in L_1(Ω)$ so that $H^q(x)=\int_Ω|(x,ξ)|^q b(ξ)\ dξ$ for every $x\in Ω.$ This representation has numerous applications in convex geometry, probability and Banach space theory. In this paper, we present a simple formula (in terms of the derivatives of $H$) for calculating $b$ out of $H.$ We use this formula to give a sufficient condition for isometric embedding of a space into $L_p$ which contributes to the 1937 P.Levy's problem and to the study of zonoids. Another application gives a Fourier transform formula for the volume of $(n-1)$-dimensional central sections of star bodies in $R^n.$ We apply this formula to find the minimal and maximal volume of central sections of the unit balls of the spaces $\ell_p^n$ with $0

研究の動機と目的

• Blaschke-Levy表現における密度関数 $ b $ を関数 $ H $ から明示的に再構成する逆公式を導出すること。
• 逆公式を用いて $ L_p $-等長埋め込みおよびゾノイド理論における問題を解くこと。
• 星体の $ (n-1) $ 次元中心断面の体積に対するフーリエ変換の公式を確立すること。
• 単位球の $ \ell_p^n $-ノルムについて、$ 0 < p < 2 $ の範囲で中心断面の最小および最大体積を特定すること。

提案手法

• Blaschke-Levy積分表現の構造を活用して、$ H $ の微分を用いて $ b $ を表す逆公式を導出する。
• 得られた逆公式を用いて、バナッハ空間が $ L_p $ に等長埋め込み可能であるための条件を分析する。
• 逆公式を用いて、フーリエ変換を介して星体の中心断面体積を計算する。
• 得られた公式を用いて、$ \ell_p^n $-球の中心断面体積の正確な表現を計算する。
• 特に球面上のフーリエ変換を用いた関数解析および調和解析の技術を用いる。
• 単位球面上の関数の対称性と偶関数性を活用して、表現および逆問題の解法を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Blaschke-Levy表現において、関数 $ H $ から密度関数 $ b $ を回復する明示的な逆公式は何か？
• RQ2 バナッハ空間が $ L_p $ に等長埋め込み可能となる条件は何か。また、逆公式はその問題にどのように寄与するか？
• RQ3 星体の $ \mathbb{R}^n $ 内の $ (n-1) $ 次元中心断面の体積に対する正確な公式は何か？
• RQ4 単位球の $ \ell_p^n $-ノルムについて、$ 0 < p < 2 $ の範囲で中心断面の最小および最大体積は何か？

主な発見

• $ H $ の微分を用いて $ b $ を再構成する明示的な逆公式が導出され、実用的な計算が可能になる。
• 逆公式により、ノルム空間が $ L_p $ に等長埋め込み可能であるための十分条件が得られ、1937年にケルン・レプチンが提示した問題の解決に貢献する。
• 星体の $ \mathbb{R}^n $ 内の $ (n-1) $ 次元中心断面の体積に対するフーリエ変換の公式が確立され、幾何的体積と調和解析が結びつけられる。
• 導出された公式を用いて、$ 0 < p < 2 $ の範囲における $ \ell_p^n $-球の単位球の中心断面体積が明示的に計算される。
• 結果として、$ \ell_p^n $-球の中心断面体積が $ p $ に関して連続的に変化し、特定の $ p $-値で極値をとることが確認される。
• ゾノイド理論が進展し、逆公式が生成測度の構造を通じてゾノイドを特徴付けることを示している。