[論文レビュー] Inverse Limits and Function Algebras

Joan E. Hart, Kenneth Kunen|ArXiv.org|Apr 11, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ジェンセンの原理 ♦ の下で、コンパクトで、ヘレディタリにリンデレーフ的かつヘレディタリに分離可能であり、連結であるが、完全で完全に不連結な部分空間を含まない空間を構成する。これは古典的位相幾何学の予想に反する。さらに、この空間は複素数 Stone-Weierstrass 性質（CSWP）を満たさないことが示され、ZFCとは独立であることが判明する。PFA（適切な強制公理）の下では、このような空間は存在しない。これは集合論的公理が関数論的および一般位相幾何学において果たす役割を浮き彫りにする。

ABSTRACT

Assuming Jensen's principle diamond, there is a compact Hausdorff space X which is hereditarily Lindelof, hereditarily separable, and connected, such that no closed subspace of X is both perfect and totally disconnected. The Proper Forcing Axiom implies that there is no such space. The diamond example also fails to satisfy the CSWP (the complex version of the Stone-Weierstrass Theorem). This space cannot contain the two earlier examples of failure of the CSWP, which were totally disconnected -- specifically, the Cantor set (W. Rudin) and beta N (Hoffman and Singer).

研究の動機と目的

• コンパクトで、ヘレディタリにリンデレーフ的かつヘレディタリに分離可能であり、散らばった空間でなく、完全で完全に不連結な部分空間を含まない連結空間の存在を調査すること。
• このような空間における複素数 Stone-Weierstrass 性質（CSWP）の失敗を検討すること。
• 特に、このような空間の存在が、♦ では成立するが PFA では成立しないというように、集合論的公理による独立性を明確にすること。
• CSWP が、カントール集合や βℕ を部分空間として含まない空間においても失敗することを示すこと。これは、CSWP の可能性のある特徴付けに挑戦する。

提案手法

• ω₁ を用いた逆極限構成により、[0,1]^ω₁ に含まれるコンパクト空間 X を構成し、各段階 α < ω₁ で射影 X_α を定義する。
• CSWP の失敗を示すために、[0,1] を閉単位円板 D に置き換え、同様の逆極限プロセスにより X ⊂ D^ω₁ を構成する。
• カントールツリー性質を持つ強制概念 P ⊆ 2^{<ω₁} を用いて、適切性と非可算反鎖の存在を防ぐ。
• P にインデックスされた閉集合で連結で無限な部分集合 H_p の木を強制し、空間が連結かつ散らばっていないことを保証する。
• カントールツリー性質を用いて、与えられた条件の木に対して、ある分岐が P に属することを保証し、非可算鎖の発生を防ぐ。
• 強制理論の結果（例えば、完全な適切性）を応用し、PFA の下ではこのような空間が存在できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで、ヘレディタリにリンデレーフ的かつヘレディタリに分離可能であり、連結であるが、完全で完全に不連結な部分空間を含まない空間が存在するか？
• RQ2 このような空間が、カントール集合や βℕ を部分空間として含まない場合でも、複素数 Stone-Weierstrass 性質（CSWP）を満たさないことは可能か？
• RQ3 このような空間の存在が ZFC とは独立であり、♦ では成立するが PFA では成立しないという違いがあるか？
• RQ4 散らばった空間ではなく、かつ古典的な障害（カントール集合や βℕ）を部分空間として含まない空間において、CSWP が失敗することは可能か？
• RQ5 逆極限構成と強制法は、関数代数的性質を制御できる病理的位相空間を構築するために果たす役割は何か？

主な発見

• ♦ を仮定すると、完全で完全に不連結な部分空間を含まない、コンパクトで、ヘレディタリにリンデレーフ的かつヘレディタリに分離可能な連結空間 X が存在する。
• 同じ空間が ♦ の下で、カントール集合や βℕ を部分空間として含まないにもかかわらず、複素数 Stone-Weierstrass 性質（CSWP）を満たさない。
• PFA（適切な強制公理）の下では、このような空間は存在しない。これは、このような空間の存在が ZFC とは独立であることを示唆する。
• この構成は、カントールツリー性質を持つ強制概念に依存しており、適切性を保証し、非可算鎖の発生を防ぐ。
• ♦ の下で構成されたこの空間は第二可算ではない。なぜなら、カントール集合のコピーを含まないからである。
• この空間における CSWP の失敗は、カントール集合や βℕ を含まないという事実が、CSWP の保証には不十分であることを示しており、むしろ小さな、よく振る舞う位相空間に対しても成立しうることを示している。