[論文レビュー] Inverse Mean Curvature Flow and the Stability of the Positive Mass Theorem and Riemannian Penrose Inequality Under $L^2$ Metric Convergence

Brian Allen|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元の漸近的に平坦な多様体において、一様に制御された逆平均曲率流れ（IMCF）でfoliateされる場合、正質量定理（PMT）およびリーマン・ペネロープ不等式（RPI）が $L^2$ メトリック収束に対して安定であることを確立する。外境界のハウキング質量が0に近づく場合、領域は $L^2$ で平坦なアニュラスに収束する。質量差が0に近づき、ハウキング質量が正の値に収束する場合、領域は $L^2$ でシュバルツシルト・アニュラスに収束する。曲率および幾何的制御が一様である限り、この収束は部分列を経由せず、全列の収束が保証される。

ABSTRACT

We study the stability of the Positive Mass Theorem (PMT) and the Riemannian Penrose Inequality (RPI) in the case where a region of an asymptotically flat manifold $M^3$ can be foliated by a smooth solution of Inverse Mean Curvature Flow (IMCF) which is uniformly controlled. We consider a sequence of regions of asymptotically flat manifolds $U_T^i\subset M_i^3$, foliated by a smooth solution to IMCF which is uniformly controlled, and if $\partial U_T^i = Σ_0^i \cup Σ_T^i$ and $m_H(Σ_T^i) ightarrow 0$ then $U_T^i$ converges to a flat annulus with respect to $L^2$ metric convergence. If instead $m_H(Σ_T^i)-m_H(Σ_0^i) ightarrow 0$ and $m_H(Σ_T^i) ightarrow m >0$ then we show that $U_T^i$ converges to a topological annulus portion of the Schwarzschild metric with respect to $L^2$ metric convergence.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な3次元多様体に対して、$L^2$ メトリック収束下での正質量定理（PMT）およびリーマン・ペネロープ不等式（RPI）の安定性を確立すること。
• 外境界のハウキング質量が0に近づくか、正の値に近づくような、一様に制御されたIMCFでfoliateされる漸近的に平坦な多様体内の領域の列を分析すること。
• このような列が、幾何的および曲率的制御のもとで、$L^2$ で平坦なアニュラス（PMTの剛性）またはシュバルツシルト・アニュラス（RPIの剛性）に収束することを証明すること。
• 内在的フラット収束または $L^2$ 曲率収束下での先行の安定性結果を、幾何的座標系としてのIMCFを用いることで拡張すること。
• リーとソルマニ（2018）の予想されたPMTの内在的フラット収束下での安定性を扱うための枠組みを、$L^2$ 収束をIMCFを介して確立することによって構築すること。

提案手法

• 各多様体の系列において、逆平均曲率流れ（IMCF）を用いて特別な座標系を構築し、メトリック構造の制御を可能にする。
• 平均曲率、第二基本形式、およびノイマンの等周定数に一様に有界な領域のクラス $\mathcal{M}_{r_0,H_0,I_0}^{T,H_1,A_1}$ を定義する。
• $\Sigma \times [0,T]$ 上での曲率およびメトリック収束を分析することにより、メトリック $\hat{g}^i$ がモデルメトリック $\delta$（平坦またはシュバルツシルト型）に $L^2$ 収束することを適用する。
• $Rc^i(\nu,\nu)$ に対する $W^{1,2}$ 界および直径の制御を用い、コンパクトネスおよび剛性結果を活用して $L^2$ ノルムにおける収束を保証する。
• ペターセンとウェイ（2002）の初期データの $C^\alpha$ 収束に関する剛性結果を活用し、補間およびノルム比較により $L^2$ メトリック収束を示す。
• 部分列の議論と背理法を用いて、非収束部分列を排除し、部分列を経由しない全列の $L^2$ 収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外境界のハウキング質量が0に近づく場合、正質量定理は $L^2$ メトリック収束下でも安定であるか？
• RQ2 質量差が0に近づき、質量が正の値に近づく場合、リーマン・ペネロープ不等式は $L^2$ メトリック収束下でも安定であるか？
• RQ3 IMCFを用いて、平坦またはシュバルツシルト型のモデルに $L^2$ メトリック収束を可能にする幾何的座標系を構築できるか？
• RQ4 どのような幾何的および曲率的制御条件下で、IMCFでfoliateされた領域の系列における $L^2$ メトリック収束が発生するか？
• RQ5 これらの結果は、リーとソルマニ（2018）の予想を扱うために、内在的フラット収束に拡張可能か？

主な発見

• もし $m_H(\Sigma_T^i) \to 0$ であれば、領域 $U_T^i$ はメトリック $\delta$ に関して $L^2$ で平坦なアニュラスに収束する。
• もし $m_H(\Sigma_T^i) - m_H(\Sigma_0^i) \to 0$ かつ $m_H(\Sigma_T^i) \to m > 0$ であれば、$U_T^i$ はシュバルツシルト・メトリック $g_s$ に関して $L^2$ でシュバルツシルト・アニュラスに収束する。
• $L^2$ メトリック収束は、$H$、$|A|$、および $Rc(\nu,\nu)$ に対する一様な制御に加え、直径の境界によって確立される。
• 部分列を経由せず、背理法とコンパクトネスを用いることで、全列の収束が保証される。
• 無限時間IMCFに結果を拡張するには、一様な漸近的平坦性と $T \to \infty$ のとき $H_0^T \to 0$ を仮定する。
• モデルメトリック $\delta = \frac{r_0^2}{4}e^t dt^2 + r_0^2 e^t d\sigma$ は、平坦およびシュバルツシルト型収束の両方の基準として用いられる。