[論文レビュー] Inverse of generalized Nevanlinna function that is holomorphic at infinity

Muhamed Borogovac|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限遠点で正則で、かつその無限遠点における導関数が有界逆可換であるという条件下で、一般化されたネヴァンリンナ関数 $ Q \in \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ の逆の新しい作用素表現を確立する。逆関数 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ は、$ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $ を満たす二つの成分 $ \hat{Q}_1 + \hat{Q}_2 $ に分解され、それぞれが一般化されたネヴァンリンナクラス $ \mathcal{N}_{\kappa_1} $ および $ \mathcal{N}_{\kappa_2} $ に属する。この分解により、より単純な部分成分を用いた構造的解析が可能となる。

ABSTRACT

Let $\left(\mathcal{H},\left(.,. ight) ight)$ be a Hilbert space and let $\mathcal{L}\left(\mathcal{H} ight)$ be the linear space of bounded operators in $\mathcal{H}$. In this paper, we deal with $\mathcal{L}(\mathcal{H})$-valued function $Q$ that belongs to the generalized Nevanlinna class $\mathcal{N}_κ (\mathcal{H})$, where $κ$ is a non-negative integer. It is the class of functions meromorphic on $C \backslash R$, such that $Q(z)^{*}=Q(\bar{z})$ and the kernel $\mathcal{N}_{Q}\left( z,w ight):=\frac{Q\left( z ight)-{Q\left( w ight)}^{\ast }}{z-\bar{w}}$ has $κ$ negative squares. A focus is on the functions $Q \in \mathcal{N}_κ (\mathcal{H})$ which are holomorphic at $ \infty$. A new operator representation of the inverse function $\hat{Q}\left( z ight):=-{Q\left( z ight)}^{-1}$ is obtained under the condition that the derivative at infinity $Q^{'}\left( \infty ight):=\lim\limits_{z o \infty}{zQ(z)}$ is boundedly invertible operator. It turns out that $\hat{Q}$ is the sum $\hat{Q}=\hat{Q}_{1}+\hat{Q}_{2},\, \, \hat{Q}_{i}\in \mathcal{N}_{κ_{i}}\left( \mathcal{H} ight)$ that satisfies $κ_{1}+κ_{2}=κ$. That decomposition enables us to study properties of both functions, $Q$ and $\hat{Q}$, by studying the simple components $\hat{Q}_{1}$ and $\hat{Q}_{2}$.

研究の動機と目的

• 無限遠点で正則な一般化されたネヴァンリンナ関数 $ Q \in \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ の逆関数に対する新しい作用素表現を導出すること。
• 無限遠点における導関数 $ Q'(\infty) $ が有界逆可換であるという条件下で、$ \hat{Q} = -Q^{-1} $ の構造を分析すること。
• $ \hat{Q} $ を $ \mathcal{N}_{\kappa_i} $-クラス関数に分解し、$ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $ を満たすようにすることにより、スペクトル的および幾何的性質の解析を容易にすること。
• クリン空間およびポントリャーギン空間における作用素論的道具を用いて、$ \hat{Q}_1 $ および $ \hat{Q}_2 $ を構成的に計算する手法を提供すること。

提案手法

• 複素数平面から実数直線を除いた領域でメロモルフィックであり、$ Q(z)^* = Q(\bar{z}) $ を満たし、$ \kappa $ 個の負の平方を持つカーネルを持つ一般化されたネヴァンリンナクラス $ \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ の定義の使用。
• 自己共役作用素 $ A $、基本的符号作用素 $ J $、およびクリン空間枠組みにおける作用素のペア $ \Gamma $、$ \Gamma^+ $ を用いた作用素表現の応用。
• 作用素 $ A $ のリゾルベントと空間の正則部分への射影を用いて、$ \hat{Q}_1(z) = \hat{S} + z\hat{G} $ を導出すること。
• 式 (4.2) の複雑な表現を直接評価する必要を避けるために、$ \hat{Q}_2(z) = \hat{Q}(z) - \hat{Q}_1(z) $ という式を用いて $ \hat{Q}_2(z) $ を計算すること。
• 正則部分空間への射影 $ P $ と特異部分空間への射影 $ I-P $ を用いて、リゾルベントおよび関連作用素の成分を分離すること。
• クリン空間および関連するヒルベルト空間の構造を活用し、内積および位相を定義することで、$ Q'(\infty) $ の有界逆可換性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠点で正則で、かつその無限遠点における導関数が有界逆可換である一般化されたネヴァンリンナ関数の逆関数は、どのように作用素形式で表現できるか？
• RQ2 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ は、制御された負の指数を持つより単純な一般化されたネヴァンリンナ関数への分解構造はどのようなものか？
• RQ3 $ \hat{Q}_1 $ および $ \hat{Q}_2 $ は、クリン空間における作用素論的構成を用いて明示的に計算可能か？
• RQ4 関数 $ Q $ の負の指数 $ \kappa $ は $ \hat{Q}_1 $ と $ \hat{Q}_2 $ の間でどのように分配され、$ \kappa_1 $ と $ \kappa_2 $ を決定づける要因は何か？
• RQ5 極キャンセレーション関数は $ Q $ の零点を特定する際に果たす役割は何か？また、$ \hat{Q}_2 $ の構造とどのように関連しているか？

主な発見

• 無限遠点における導関数 $ Q'(\infty) $ が有界逆可換であるという条件下で、逆関数 $ \hat{Q}(z) = -Q(z)^{-1} $ は $ \hat{Q} = \hat{Q}_1 + \hat{Q}_2 $ に分解可能であり、$ \hat{Q}_i \in \mathcal{N}_{\kappa_i}(\mathcal{H}) $ かつ $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $ を満たす。
• 成分 $ \hat{Q}_1(z) $ は明示的に $ \hat{S} + z\hat{G} $ として与えられ、$ \hat{S} $ および $ \hat{G} $ は $ Q $ の作用素表現から導出されるため、計算に適している。
• 成分 $ \hat{Q}_2(z) $ は、(4.2) 式の複雑な表現を直接評価する必要を避けるために、$ \hat{Q}_2(z) = \hat{Q}(z) - \hat{Q}_1(z) $ として間接的に得られる。実用的には計算が簡略化される。
• 例においては、$ \hat{Q}_1(z) $ の指数は $ \kappa_1 = 1 $、$ \hat{Q}_2(z) $ の指数は $ \kappa_2 = 1 $ であり、理論と整合する $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa = 2 $ が確認された。
• $ \hat{Q}_2(z) $ の $ z = -1 $ における極は、$ Q(z) $ の零点に対応しており、[3, 定義 3.1] で定義された極キャンセレーション関数 $ \eta(z) = \begin{bmatrix} 1+z \\ 0 \end{bmatrix} $ を用いて検証された。
• この手法により、$ Q $ および $ \hat{Q} $ の構造的解析が、より少ない負の平方を持つ二つのより単純な $ \mathcal{N}_{\kappa_i} $-関数の研究に還元可能となる。